Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 16, m = 3 mm

Sebuah motor 5,5 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi dan modul 3 mm. Cari gaya tangensial Ft pada gigi pinion.

P = 5,5 kWn = 1440 rpmN1 = 16m = 3 mm
Ft = N
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 36B = 72C = 18D = 60

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (36 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (60 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1500 rpmA = 36B = 72C = 18D = 60
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 1500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 10σy​ = 10MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 10 MPa dan σᵧ = 10 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 45 MPa?

σx = 10 MPaσy = 10 MPaσ1 = 45 MPa
τxy = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan poros

Poros pejal berdiameter 60 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 170 kN bersama torsi 1500 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 60 mmF = 170 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmKuningan2 mP = 120 kN

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 120 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmAluminium0,5 mØ 20 mmBaja1 mP = 85 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 85 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m30 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 200 kN/mc = 400 N·s/mm = 20 kg

Massa 20 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 200 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 400 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 20 kgk = 200 kN/mc = 400 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 12k2​ = 50m = 5 kg

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 50 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk1 = 12 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: Ft = 1520 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 3·16 = 48 mm

Gaya tangensial

Ft = 2T/d = 2·36,47/0,048 = 1520 N

Jawaban

Ft = 1520 N
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 225 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1500·36/72 = 750 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 750·18/60 = 225 rpm

Jawaban

nout = 225 rpm

rasio total = 6,667 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,8754 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·613592) = 0,01528 rad
φ = 0,01528·180/π = 0,8754°

Jawaban

φ = 0,8754°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 25,31 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Jawaban

d = 25,31 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 35 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (10 + 10)/2 = 10 MPa
R = σ1 − C = 45 − 10 = 35 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 0²) = 35 MPa

Jawaban

τxy = 35 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 46,42 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 170000/(π·60²/4) = 170000/2827 = 60,13 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 30,06 MPa
R = √(30,06² + 35,37²) = 46,42 MPa

Jawaban

τmax = 46,42 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,395 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 120·1000/706,9 = 169,8 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 169,8/100000 = 0,001698 = 1698 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001698·2000 mm = 3,395 mm

Jawaban

δ = 3,395 mm
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 270,6 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 120,3 MPa
σ2 = 270,6 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 270,6 MPa

Jawaban

σmax = 270,6 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 66,62 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2000² = 66620 N = 66,62 kN

Jawaban

Pcr = 66,62 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 17,27 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σcr = 17,27 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·20) = 4000 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 400/4000 = 0,1

Jawaban

ζ = 0,1

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 62 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 12 + 50 = 62 kN/m

Jawaban

keq = 62 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design