Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 150 mm pada 1440 rpm. Tegangannya 1200 N pada sisi tarik dan 300 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 16 gigi dan setiap roda gigi planet 12 gigi. Roda gigi cincin ditahan diam dan matahari digerakkan pada 3000 rpm. Cari kecepatan n_c pembawa planet.

N_s = 16N_p = 12n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 0,8 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 20 kW pada 1500 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 90 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 420 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = 90 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 25 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 85 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 15 mm diikuti 3 siklus kemudian oleh puncak 1,5 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 15 mmx₃ = 1,5 mmn = 3

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 100 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 10,18 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 11,31 m/s

Daya

P = (1200 − 300)·11,31 = 10179 W = 10,18 kW

Jawaban

P = 10,18 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_c = 857,1 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·12 = 40

Persamaan Willis dengan cincin diam

Ambil n_r = 0 dan selesaikan untuk kecepatan pembawa.

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −40/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·16/56 = 857,1 rpm

Jawaban

n_c = 857,1 rpm

Pembawa berputar searah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 2,008 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,001612 rad

φ_BC = 100000·500/(39000·38350) = 0,03343 rad

Puntiran total

φ_C = 0,001612 + 0,03343 = 0,03504 rad = 2,008°

Jawaban

φ_C = 2,008°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 30,17 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·40·0,5904)) = 30,17 mm

d_i = 0,8·30,17 = 24,14 mm

Jawaban

d_o = 30,17 mm

Poros pejal memerlukan d = 25,31 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 63,25 MPa

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((90 − −30)/2)² + −20²) = 63,25 MPa

Jawaban

τ_max = 63,25 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 4,118

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 40 MPa, R = 50,99 MPa

σ₁ = 90,99 MPa, σ₂ = −10,99 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 102 MPa

n = 420/102 = 4,118

Jawaban

n = 4,118

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,5684 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 25·1000/314,2 = 79,58 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 79,58/70000 = 0,001137 = 1137 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001137·500 mm = 0,5684 mm

Jawaban

δ = 0,5684 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 9,175 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·2000/70000 = 4,947 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422,8·1000/100000 = 4,228 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,175 mm

Jawaban

δ = 9,175 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,406 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/4200² = 4406 N = 4,406 kN

Jawaban

P_cr = 4,406 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 4,371 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/6,25 = 672

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/672² = 4,371 MPa

Jawaban

σ_cr = 4,371 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1213

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/3)·ln(15/1,5) = 0,7675

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7675/√(39,48 + 0,5891) = 0,1213

Jawaban

ζ = 0,1213

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 105 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 100 = 105 kN/m

Jawaban

k_eq = 105 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design