Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 160 mm pada 1440 rpm menggerakkan puli 400 mm dengan sabuk yang slipnya 1 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 100 mm dan puli 300 mm yang jarak sumbunya 1200 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 100 mmd₂ = 300 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 20 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 200 N·m diberikan di C, 0,8 m dari A dan 1,5 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 20 mmT₀ = 200 N·ma = 0,8 mb = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 15 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 200 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 520 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 15 kgk = 200 kN/mc = 520 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 30 kN/m dan pegas bawah k₂ = 20 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 570,2 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1440·160/400 = 576 rpm

Dengan slip

n₂ = 576·0,99 = 570,2 rpm

Jawaban

n₂ = 570,2 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 170,4 °

Sudut sabuk

asin(0,08333) = 4,78°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·4,78 = 170,4°

Jawaban

θ = 170,4°

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 4,619 °

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·79522) = 0,08061 rad

φ = 0,08061·180/π = 4,619°

Jawaban

φ = 4,619°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 83,04 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,5/2,3 = 130,4 N·m

T_B = 200·0,8/2,3 = 69,57 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·130435/(π·20³) = 83,04 MPa

Jawaban

τ_max = 83,04 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 37,98 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 60 − 50) = 75,96°

Sudut pada elemen

θ_p = 37,98°

Jawaban

θ_p = 37,98°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −25 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−25·−1 + 50·0 = −25 MPa

Jawaban

τ_θ = −25 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 48 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3,617 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/5,209 × 10⁻⁶ = 47997 N = 48 kN

Jawaban

P = 48 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 546,6 kN

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0006) = 0,0006 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·9,111 × 10⁸ = 546637 N = 546,6 kN

Jawaban

P_max = 546,6 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 50,23 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/5000² = 50230 N = 50,23 kN

Jawaban

P_cr = 50,23 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 38,86 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Jawaban

σ_cr = 38,86 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1501

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·15) = 3464 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 520/3464 = 0,1501

Jawaban

ζ = 0,1501

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,487 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/20 → k_eq = 30·20/(30 + 20) = 12 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(12000/25) = 21,91 rad/s

f_n = 21,91/(2π) = 3,487 Hz

Jawaban

f_n = 3,487 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design