Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Cacing dengan 2 ulir berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 45 gigi. Cari kecepatan n_w roda cacing.

z = 2N_w = 45n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 80 mm pada 1500 rpm ke puli 300 mm; jarak sumbunya 1200 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 800 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 80 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 300 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 800 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 40 mm dan panjang 0,8 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 1 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 10 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 10 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Elemen diputar 45° searah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 85 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 85 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 85 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 20 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 20 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 60 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 20 kgk = 20 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada pegas k₃ = 100 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 15 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_w = 64 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 1440·2/45 = 64 rpm

Jawaban

n_w = 64 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 3,242 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,958 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^1,035 = 2,816, T₂ = 800/2,816 = 284,1 N

Daya

P = (800 − 284,1)·6,283 = 3,242 kW

Jawaban

P = 3,242 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 1,129 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·800/(80000·251327) = 0,003979 rad

φ_BC = 100000·1000/(80000·79522) = 0,01572 rad

Puntiran total

φ_C = 0,003979 + 0,01572 = 0,0197 rad = 1,129°

Jawaban

φ_C = 1,129°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 12,65 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·80)) = 12,65 mm

Jawaban

d = 12,65 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 5 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = −5 − (−75)·0 − 10·(−1) = 5 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = −15 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −10 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 5 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 35 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −35·−1 + −10·0 = 35 MPa

Jawaban

τ_θ = 35 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,469 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/117000 = 0,002313 = 2313 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002313·1500 mm = 3,469 mm

Jawaban

δ = 3,469 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 23,15 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 40000·628319/863938 = 29091 N

Tegangan

σ₂ = 29091/1257 = 23,15 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 23,15 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 6,89 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6,89 kN

Jawaban

P_cr = 6,89 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 79,18 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 79,18 mm

Jawaban

d = 79,18 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 141,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,04743

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·20) = 1265 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 60/1265 = 0,04743

Jawaban

ζ = 0,04743

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,805 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 25 + 15 = 40 kN/m

k_eq = 40·100/(40 + 100) = 28,57 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(28571/50) = 23,9 rad/s

f_n = 23,9/(2π) = 3,805 Hz

Jawaban

f_n = 3,805 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design