Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 125 mm pada 720 rpm. Tegangannya 500 N pada sisi tarik dan 250 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (20 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 20B = 72C = 12D = 72

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros berongga harus menahan torsi 2000 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° searah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 420 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 150 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 110 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 150 kg pada pegas dengan kekakuan 200 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,3. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 150 kgk = 200 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 25 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 1,178 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 4,712 m/s

Daya

P = (500 − 250)·4,712 = 1178 W = 1,178 kW

Jawaban

P = 1,178 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 69,44 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1500·20/72 = 416,7 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 416,7·12/72 = 69,44 rpm

Jawaban

n_out = 69,44 rpm

rasio total = 21,6 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: d_o = 66,8 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·50·0,6836)) = 66,8 mm

d_i = 0,75·66,8 = 50,1 mm

Jawaban

d_o = 66,8 mm

Poros pejal memerlukan d = 58,84 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 31,21 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·238732/(π·40)) = 31,21 mm

Jawaban

d = 31,21 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = −38,31 MPa

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = −55 − (−5)·0,766 − 20·(−0,6428) = −38,31 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = −71,69 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −110 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = −38,31 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,484

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 65 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 155,1 MPa, σ₂ = −25,14 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(155,1² − 155,1·(−25,14) + (−25,14)²) = 169,1 MPa

n = 420/169,1 = 2,484

Jawaban

n = 2,484

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,99 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/706,9 = 155,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 155,6/117000 = 0,00133 = 1330 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,00133·3000 mm = 3,99 mm

Jawaban

δ = 3,99 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 136,1 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·2199 = 3,267 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0004167) = 0,0004167 (tembaga)

Beban terbesar

P_max = 0,0004167·3,267 × 10⁸ = 136136 N = 136,1 kN

Jawaban

P_max = 136,1 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 58,95 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2500² = 58954 N = 58,95 kN

Jawaban

P_cr = 58,95 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 30,71 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Jawaban

σ_cr = 30,71 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 5,544 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(200000/150) = 36,51 rad/s

f_n = 36,51/(2π) = 5,812 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,812·√(1 − 0,3²) = 5,544 Hz

Jawaban

f_d = 5,544 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 13,69 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 25 = 37 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(37000/5) = 86,02 rad/s

f_n = 86,02/(2π) = 13,69 Hz

Jawaban

f_n = 13,69 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design