Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 18N2​ = 30

Sebuah motor 1,1 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 18 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 30 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 1,1 kWn1 = 1450 rpmN1 = 18N2 = 30η = 97%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 16B = 18C = 50D = 72

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (16 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (18 gigi). Roda gigi C (50 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1450 rpmA = 16B = 18C = 50D = 72
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 50 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 750 N·mABC0,8 m1,5 m

Poros kuningan pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 1000 N·m bekerja di B, 0,8 m dari A, dan torsi 750 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

d = 50 mmTB = 1000 N·mTC = 750 N·mAB = 0,8 mBC = 1,5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 20σy​ = 90τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σz = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τabs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σx = 20 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 70σy​ = 20τxy​ = 60MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 250 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σx = 70 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPaσY = 250 MPa
n =
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12500 mm200 mmØ25Ø30δ = 0,4 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
50 kN12300 mm300 mmØ20Ø30σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 50 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m25 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 65 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 65 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 100 kN/mζ = 0,6m = 40 kg

Massa 40 kg pada pegas dengan kekakuan 100 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,6. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 100 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 100k2​ = 50m = 10 kg

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 100 kN/m dan pegas bawah k₂ = 50 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 11,71 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/151,8 = 7,244 N·m

Torsi keluaran

T2 = 7,244·30/18·0,97 = 11,71 N·m

Jawaban

T2 = 11,71 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 895,1 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1450·16/18 = 1289 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 1289·50/72 = 895,1 rpm

Jawaban

nout = 895,1 rpm

rasio total = 1,62 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 13,86 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·79522) = 0,2418 rad
φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Jawaban

φ = 13,86°
4.Torsi poros

Jawaban: φC = 2,215 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 1000 = −250 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = −250000·800/(39000·613592) = −0,008358 rad
φBC = 750000·1500/(39000·613592) = 0,04701 rad

Puntiran ujung C

φC = −0,008358 + 0,04701 = 0,03865 rad → |φC| = 2,215°

Jawaban

φC = 2,215°
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τabs = 50,55 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σmax − σmin)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama sebidang

C = 55 MPa, R = √((−35)² + 30²) = 46,1 MPa
σ1 = 101,1 MPa, σ2 = 8,902 MPa, σz = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(92,2, 101,1, 8,902)/2 = 50,55 MPa

Jawaban

τabs = 50,55 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 1,923

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 45 MPa, R = 65 MPa
σ1 = 110 MPa, σ2 = −20 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 130 MPa
n = 250/130 = 1,923

Jawaban

n = 1,923

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 52,18 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/7,665 × 10⁻⁶ = 52184 N = 52,18 kN

Jawaban

P = 52,18 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 31,16 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 50000·164934/374373 = 22028 N

Tegangan

σ2 = 22028/706,9 = 31,16 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 31,16 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 3,373 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/4000² = 3373 N = 3,373 kN

Jawaban

Pcr = 3,373 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 69,96 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 69,96 mm

Jawaban

d = 69,96 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 142,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 6,366 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(100000/40) = 50 rad/s
fn = 50/(2π) = 7,958 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,6²) = 6,366 Hz

Jawaban

fd = 6,366 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 9,189 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/100 + 1/50 → keq = 100·50/(100 + 50) = 33,33 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(33333/10) = 57,74 rad/s
fn = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

Jawaban

fn = 9,189 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design