Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 200 mm pada 1500 rpm. Tegangannya 500 N pada sisi tarik dan 100 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 500 NT₂ = 100 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (18 gigi) pada poros masukan berputar pada 3000 rpm dan menggerakkan roda gigi B (24 gigi). Roda gigi C (24 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 1200 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 3000 rpmA = 18B = 24C = 24n_out = 1200 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 1,5 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 3 m. Torsi 250 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 250 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 400 N·m bekerja di B, 1,5 m dari A, dan torsi 750 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmT_B = 400 N·mT_C = 750 N·mAB = 1,5 mBC = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 65 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 35 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 35 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 25 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 100 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 1260 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 25 kgk = 100 kN/mc = 1260 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 80 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 20 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 6,283 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 15,71 m/s

Daya

P = (500 − 100)·15,71 = 6283 W = 6,283 kW

Jawaban

P = 6,283 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 45

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 3000·18/24 = 2250 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 24·2250/1200 = 45

Jawaban

N_D = 45

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 4,561 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 250000·1500/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,003095 rad

φ_BC = 250000·3000/(39000·251327) = 0,07652 rad

Puntiran total

φ_C = 0,003095 + 0,07652 = 0,07961 rad = 4,561°

Jawaban

φ_C = 4,561°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 5,984 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 400 = 1150 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,15 × 10⁶·1500/(80000·251327) = 0,08579 rad

φ_BC = 750000·500/(80000·251327) = 0,01865 rad

Puntiran ujung C

φ_C = 0,08579 + 0,01865 = 0,1044 rad → |φ_C| = 5,984°

Jawaban

φ_C = 5,984°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 5,152 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 30 − −80) = 10,3°

Sudut pada elemen

θ_p = 5,152°

Jawaban

θ_p = 5,152°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 94,82 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 55 + 45·0,5 + 20·0,866 = 94,82 MPa

Jawaban

σ_θ = 94,82 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1134 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/117000 = 0,001134 = 1134 µε

Jawaban

ε = 1134 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 323,3 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 323,3 MPa

Jawaban

σ_max = 323,3 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 23,39 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1500² = 23395 N = 23,39 kN

Jawaban

P_cr = 23,39 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 72,15 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,15 mm

Jawaban

d = 72,15 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 277,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,3984

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·25) = 3162 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 1260/3162 = 0,3984

Jawaban

ζ = 0,3984

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 6,243 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 30 + 20 = 50 kN/m

k_eq = 50·80/(50 + 80) = 30,77 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(30769/20) = 39,22 rad/s

f_n = 39,22/(2π) = 6,243 Hz

Jawaban

f_n = 6,243 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design