Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 450 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 5 mm dan reduksi kecepatan 5 : 1. Berapa jumlah gigi N₂ yang harus dimiliki roda gigi?

a = 450 mmm = 5 mmi = 5

N₂ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 120 mm dan puli 500 mm yang jarak sumbunya 800 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 120 mmd₂ = 500 mmC = 800 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 15 mm dipuntir oleh torsi 75 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 2,16° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 2,16°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 2000 N·m diberikan di C, 1,2 m dari A dan 2 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 40 mmT₀ = 2000 N·ma = 1,2 mb = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 40° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = −30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 460 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 15 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 45 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 5 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 12 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 1 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 1 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 5 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 12 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₂ = 150

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·450/5 = 180

Bagi menurut rasio

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

N₂ = 5·30 = 150

Jawaban

N₂ = 150

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 152,5 °

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut sabuk

asin(0,2375) = 13,74°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·13,74 = 152,5°

Jawaban

θ = 152,5°

3.Torsi poros

Jawaban: G = 80,06 GPa

Momen inersia polar dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,16·π/180 = 0,0377 rad

Modulus geser

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0,0377) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Jawaban

G = 80,06 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 8,768 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·2/3,2 = 1250 N·m

T_B = 2000·1,2/3,2 = 750 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 1,25 × 10⁶·1200/(39000·251327) = 0,153 rad = 8,768°

Jawaban

φ_C = 8,768°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 16,74 MPa

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 35 − (−65)·0,1736 − 30·0,9848 = 16,74 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 53,26 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 16,74 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 7,273

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 0 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 31,62 MPa, σ₂ = −31,62 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 63,25 MPa

n = 460/63,25 = 7,273

Jawaban

n = 7,273

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,373 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/100000 = 0,000746 = 746 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,000746·500 mm = 0,373 mm

Jawaban

δ = 0,373 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,887 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·500/70000 = 0,4547 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·2000/200000 = 1,432 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,887 mm

Jawaban

δ = 1,887 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 269,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269,2 kN

Jawaban

P_cr = 269,2 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 65,91 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 65,91 mm

Jawaban

d = 65,91 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 485,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,07885

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(12/1) = 0,497

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,497/√(39,48 + 0,247) = 0,07885

Jawaban

ζ = 0,07885

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,451 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 80 + 12 = 92 kN/m

k_eq = 92·5/(92 + 5) = 4,742 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(4742/20) = 15,4 rad/s

f_n = 15,4/(2π) = 2,451 Hz

Jawaban

f_n = 2,451 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design