Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 75 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 2,5 mm dan reduksi kecepatan 2 : 1. Berapa jumlah gigi N₁ yang harus dimiliki pinion?

a = 75 mmm = 2,5 mmi = 2

N₁ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (45 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (30 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 45B = 72C = 16D = 30

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 20 N·m. Kedua ujung panjang ukur 400 mm berputar 0,75° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 20 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 0,75°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −20 MPa dan σᵧ = 70 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 90 MPa?

σ_x = −20 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 350 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 75 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 8 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 1 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 90 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 8 kgk = 1 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada pegas k₃ = 60 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₁ = 20

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·75/2,5 = 60

Bagi menurut rasio

N₁ = 60/(1 + 2) = 20

Jawaban

N₁ = 20

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 500 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1500·45/72 = 937,5 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 937,5·16/30 = 500 rpm

Jawaban

n_out = 500 rpm

rasio total = 3 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: G = 38,91 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,75·π/180 = 0,01309 rad

Modulus geser

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(15708·0,01309) = 38907 MPa

G = 38,91 GPa

Jawaban

G = 38,91 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 34,35 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·60)) = 34,35 mm

Jawaban

d = 34,35 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 46,9 MPa

Jari-jari yang diperlukan

C = (−20 + 70)/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 90 − 25 = 65 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 45²) = 46,9 MPa

Jawaban

τ_xy = 46,9 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,969

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 20 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 87,08 MPa, σ₂ = −47,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(87,08² − 87,08·(−47,08) + (−47,08)²) = 117,9 MPa

n = 350/117,9 = 2,969

Jawaban

n = 2,969

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 43,62 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/6,878 × 10⁻⁶ = 43619 N = 43,62 kN

Jawaban

P = 43,62 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,642 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106,1·2000/200000 = 1,061 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·1500/100000 = 3,581 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,642 mm

Jawaban

δ = 4,642 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 151,4 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Jawaban

P_cr = 151,4 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 7,676 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Jawaban

σ_cr = 7,676 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,5031

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(1000·8) = 178,9 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 90/178,9 = 0,5031

Jawaban

ζ = 0,5031

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 4,289 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 12 + 80 = 92 kN/m

k_eq = 92·60/(92 + 60) = 36,32 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(36316/50) = 26,95 rad/s

f_n = 26,95/(2π) = 4,289 Hz

Jawaban

f_n = 4,289 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design