Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 200 mm pada 1450 rpm. Tegangannya 400 N pada sisi tarik dan 120 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 400 NT₂ = 120 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 5,5 kW pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi A (24 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (45 gigi). Roda gigi C (45 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (48 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 5,5 kWn_in = 1450 rpmA = 24B = 45C = 45D = 48η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal sepanjang 2,5 m menahan torsi 750 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 750 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 30 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,6 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 30 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 35 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 35 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 5 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 50 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 300 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 5 kgk = 50 kN/mc = 300 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 12 kN/m dan pegas bawah k₂ = 80 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 4,252 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 15,18 m/s

Daya

P = (400 − 120)·15,18 = 4252 W = 4,252 kW

Jawaban

P = 4,252 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 68,16 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 1450·(24/45)·(45/48) = 725 rpm

ω_out = 2π·725/60 = 75,92 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 5500·0,97² = 5175 W

T_out = P_out/ω_out = 5175/75,92 = 68,16 N·m

Jawaban

T_out = 68,16 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: d = 72,78 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·2500/(26000·0,02618) = 2,755 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 72,78 mm

Jawaban

d = 72,78 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 45,33 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·60·0,8704)) = 45,33 mm

d_i = 0,6·45,33 = 27,2 mm

Jawaban

d_o = 45,33 mm

Poros pejal memerlukan d = 43,28 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 61,85 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((150 − 120)/2)² + 60²) = 61,85 MPa

Jawaban

τ_max = 61,85 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 50 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 0 + −40·0 + −50·−1 = 50 MPa

Jawaban

σ_θ = 50 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2046 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/70000 = 0,002046 = 2046 µε

Jawaban

ε = 2046 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 18,01 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 40000·164934/518363 = 12727 N

Tegangan

σ₂ = 12727/706,9 = 18,01 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 18,01 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 6,58 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/4000² = 6580 N = 6,58 kN

Jawaban

P_cr = 6,58 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 48,74 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 48,74 mm

Jawaban

d = 48,74 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 205,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,3

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·5) = 1000 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 300/1000 = 0,3

Jawaban

ζ = 0,3

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 10,43 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/80 → k_eq = 12·80/(12 + 80) = 10,43 kN/m

Jawaban

k_eq = 10,43 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design