Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 4 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 24 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 20N₂ = 24η = 98%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (36 gigi) pada poros masukan berputar pada 1450 rpm dan menggerakkan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (36 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 1044 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1450 rpmA = 36B = 40C = 36n_out = 1044 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 100 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 140 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 150 kg pada pegas dengan kekakuan 20 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 150 kgk = 20 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada pegas k₃ = 25 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 100 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 26,34 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151,8 = 26,34 N·m

Jawaban

T₁ = 26,34 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 45

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1450·36/40 = 1305 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 36·1305/1044 = 45

Jawaban

N_D = 45

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 20,78 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·79522) = 0,3627 rad

φ = 0,3627·180/π = 20,78°

Jawaban

φ = 20,78°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 37,81 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·530516/(π·50)) = 37,81 mm

Jawaban

d = 37,81 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −38,74 °

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 10/46,1 = 0,2169, sin 2θ_s = −45/46,1 = −0,9762

2θ_s = atan2(−45, 10) = −77,47°

Sudut pada elemen

θ_s = −38,74°

periksa: θ_s − θ_p = −38,74 − 6,264 = −45°

Jawaban

θ_s = −38,74°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_vM = 135,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 80 MPa, R = 63,25 MPa

σ₁ = 143,2 MPa, σ₂ = 16,75 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(143,2² − 143,2·16,75 + 16,75²) = 135,6 MPa

Jawaban

σ_vM = 135,6 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 407,4 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490,9 = 81,49 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 81,49/200000 = 0,0004074 = 407,4 µε

Jawaban

ε = 407,4 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 285,1 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5890 = 4,752 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,001429) = 0,0006 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·4,752 × 10⁸ = 285100 N = 285,1 kN

Jawaban

P_max = 285,1 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 71,19 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1050² = 71188 N = 71,19 kN

Jawaban

P_cr = 71,19 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 76,35 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 76,35 mm

Jawaban

d = 76,35 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 146,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,641 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(20000/150) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,838·√(1 − 0,45²) = 1,641 Hz

Jawaban

f_d = 1,641 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,644 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 30 + 100 = 130 kN/m

k_eq = 130·25/(130 + 25) = 20,97 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(20968/40) = 22,9 rad/s

f_n = 22,9/(2π) = 3,644 Hz

Jawaban

f_n = 3,644 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design