Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 20N2​ = 80

Sebuah motor 5,5 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 80 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T1 pada poros motor.

P = 5,5 kWn1 = 960 rpmN1 = 20N2 = 80η = 96%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 12B = 18C = 24D = 72

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (18 gigi). Roda gigi C (24 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1500 rpmA = 12B = 18C = 24D = 72
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
T = 200 N·md = 50 mmL = 1,2 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 25 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 400 N·mABC1,5 m3 m

Poros aluminium pejal berdiameter 25 mm dijepit di A. Torsi 400 N·m bekerja di B, 1,5 m dari A, dan torsi 400 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 3 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 25 mmTB = 400 N·mTC = 400 N·mAB = 1,5 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −70σy​ = 120τxy​ = 20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −70 MPaσy = 120 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
50°D = 600 mm, t = 8 mm, p = 3 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 600 mm dan tebal dinding 8 mm berisi gas bertekanan gauge 3 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 50° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τn| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 600 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 50°
|τn| = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12400 mm500 mmØ25Ø40δ = 0,5 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12300 mm300 mmØ40Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 50 kNL = 1,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 50 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 5 kN/mζ = 0,5m = 8 kg

Massa 8 kg pada pegas dengan kekakuan 5 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,5. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 8 kgk = 5 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 60k2​ = 15m = 20 kg

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 60 kN/m dan pegas bawah k₂ = 15 kN/m. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T1 = 54,71 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m

Jawaban

T1 = 54,71 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 333,3 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1500·12/18 = 1000 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 1000·24/72 = 333,3 rpm

Jawaban

nout = 333,3 rpm

rasio total = 4,5 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,8619 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(26000·613592) = 0,01504 rad
φ = 0,01504·180/π = 0,8619°

Jawaban

φ = 0,8619°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 260,8 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 400 = 800 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 800 N·m
τmax = 16·800000/(π·25³) = 260,8 MPa

Jawaban

τmax = 260,8 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 97,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−70 − 120)/2)² + 20²) = 97,08 MPa

Jawaban

τmax = 97,08 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τn| = 27,7 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 3·300/8 = 112,5 MPa
σa = pr/(2t) = 56,25 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τn| = (112,5 − 56,25)·sin 50°·cos 50° = 27,7 MPa

Jawaban

|τn| = 27,7 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 51,24 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/9,758 × 10⁻⁶ = 51238 N = 51,24 kN

Jawaban

P = 51,24 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 24,64 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·785398/1,623 × 10⁶ = 48387 N

Tegangan

σ2 = 48387/1963 = 24,64 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 24,64 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 2,18 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Jawaban

Pcr = 2,18 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 53,66 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 53,66 mm

Jawaban

d = 53,66 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 111,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 3,446 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(5000/8) = 25 rad/s
fn = 25/(2π) = 3,979 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,979·√(1 − 0,5²) = 3,446 Hz

Jawaban

fd = 3,446 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 12 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/60 + 1/15 → keq = 60·15/(60 + 15) = 12 kN/m

Jawaban

keq = 12 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design