Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 80 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 2 mm dan reduksi kecepatan 3 : 1. Berapa jumlah gigi N₂ yang harus dimiliki roda gigi?

a = 80 mmm = 2 mmi = 3

N₂ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 243 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1440 rpmA = 12B = 40C = 18n_out = 243 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros berongga harus menahan torsi 200 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 250 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 250 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° searah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = −60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σ_vM.

σ_x = 100 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 70 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 70 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 10 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 10 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 380 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 10 kgk = 10 kN/mc = 380 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 12 kN/m dan pegas bawah k₂ = 12 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₂ = 60

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·80/2 = 80

Bagi menurut rasio

N₁ = 80/(1 + 3) = 20

N₂ = 3·20 = 60

Jawaban

N₂ = 60

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 32

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1440·12/40 = 432 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 18·432/243 = 32

Jawaban

N_D = 32

3.Torsi poros

Jawaban: d_o = 27,08 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0,6836)) = 27,08 mm

d_i = 0,75·27,08 = 20,31 mm

Jawaban

d_o = 27,08 mm

Poros pejal memerlukan d = 23,86 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 12,06 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 250 = 500 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·2500/(26000·251327) = 0,1913 rad

φ_BC = 250000·500/(26000·251327) = 0,01913 rad

Puntiran ujung C

φ_C = 0,1913 + 0,01913 = 0,2104 rad → |φ_C| = 12,06°

Jawaban

φ_C = 12,06°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 32,33 MPa

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = −15 − (−45)·0,766 − 20·(−0,6428) = 32,33 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = −62,33 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 32,33 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_vM = 112,7 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 40 MPa, R = 60,83 MPa

σ₁ = 100,8 MPa, σ₂ = −20,83 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(100,8² − 100,8·(−20,83) + (−20,83)²) = 112,7 MPa

Jawaban

σ_vM = 112,7 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1616 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6,189 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·500/6,189 × 10⁸ = 0,1616 mm

Jawaban

δ = 0,1616 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 598,5 kN

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·9,975 × 10⁸ = 598473 N = 598,5 kN

Jawaban

P_max = 598,5 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 27,56 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Jawaban

P_cr = 27,56 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 86,4 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 86,4 mm

Jawaban

d = 86,4 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 138,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,6008

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·10) = 632,5 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 380/632,5 = 0,6008

Jawaban

ζ = 0,6008

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,513 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/12 → k_eq = 12·12/(12 + 12) = 6 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(6000/5) = 34,64 rad/s

f_n = 34,64/(2π) = 5,513 Hz

Jawaban

f_n = 5,513 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design