Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 36 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 40 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 36N₂ = 40η = 96%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 160 mm pada 960 rpm ke puli 250 mm; jarak sumbunya 500 mm. Koefisien gesekan adalah 0,25 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 1000 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 250 mmC = 500 mmμ = 0,25T₁ = 1000 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan berongga (diameter luar 75 mm, diameter dalam 38 mm, panjang 2,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 1000 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 1000 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 45° searah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 25 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 140 kN bersama torsi 200 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 25 mmF = −140 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 65 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 25 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 11,7 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 11,7 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 50 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 40 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 77,27 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151,8 = 72,44 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 72,44·40/36·0,96 = 77,27 N·m

Jawaban

T₂ = 77,27 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 4,207 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,961 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,7403 = 2,097, T₂ = 1000/2,097 = 477 N

Daya

P = (1000 − 477)·8,042 = 4,207 kW

Jawaban

P = 4,207 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,266 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Sudut puntir

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2500/(39000·2,902 × 10⁶) = 0,02209 rad

φ = 0,02209·180/π = 1,266°

Jawaban

φ = 1,266°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 35,1 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

Jawaban

d = 35,1 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 110 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 80 − (−30)·0 − 30·(−1) = 110 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 50 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 110 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 14,19 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −140000/(π·25²/4) = −140000/490,9 = −285,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −142,6 MPa

R = √((−142,6)² + 65,19²) = 156,8 MPa

σ₁ = C + R = 14,19 MPa

σ₂ = C − R = −299,4 MPa

Jawaban

σ₁ = 14,19 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 99,73 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1,019 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/3,008 × 10⁻⁶ = 99733 N = 99,73 kN

Jawaban

P = 99,73 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,817 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,56·1500/200000 = 0,5067 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·1500/200000 = 4,31 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,817 mm

Jawaban

δ = 4,817 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 197,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1750² = 197744 N = 197,7 kN

Jawaban

P_cr = 197,7 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 179 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Jawaban

σ_cr = 179 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,06031

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(25/11,7) = 0,3796

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3796/√(39,48 + 0,1441) = 0,06031

Jawaban

ζ = 0,06031

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 90 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 50 = 90 kN/m

Jawaban

k_eq = 90 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design