Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 16N2​ = 50

Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 50 gigi. Abaikan rugi-rugi. Cari torsi T1 pada poros motor.

P = 11 kWn1 = 1440 rpmN1 = 16N2 = 50η = 100%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 45B = 48C = 15D = 80

Sebuah motor 15 kW pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi A (45 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (48 gigi). Roda gigi C (15 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (80 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi keluaran Tout.

P = 15 kWnin = 1450 rpmA = 45B = 48C = 15D = 80ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.Torsi porosSedang
T = 1000 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 50 mmTB​ = 2000 N·mTC​ = 1500 N·mABC3 m2,5 m

Poros baja pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 2000 N·m bekerja di B, 3 m dari A, dan torsi 1500 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 2,5 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 50 mmTB = 2000 N·mTC = 1500 N·mAB = 3 mBC = 2,5 m
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 50σy​ = 50MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 50 MPa dan σᵧ = 50 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 75 MPa?

σx = 50 MPaσy = 50 MPaσ1 = 75 MPa
τxy = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 100σy​ = 50τxy​ = −10MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = 100 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPa
σvM = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
250 kNØ20100 GPaØ120/60600 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø25100 GPaØ120/70800 mm

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m25 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 1,5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 40 kN/mζ = 0,7m = 10 kg

Massa 10 kg pada pegas dengan kekakuan 40 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 10 kgk = 40 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 30k2​ = 30m = 5 kg

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk1 = 30 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T1 = 72,95 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/150,8 = 72,95 N·m

Jawaban

T1 = 72,95 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: Tout = 539,7 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

nout = 1450·(45/48)·(15/80) = 254,9 rpm
ωout = 2π·254,9/60 = 26,69 rad/s

Daya dan torsi keluaran

Pout = 15000·0,98² = 14406 W
Tout = Pout/ωout = 14406/26,69 = 539,7 N·m

Jawaban

Tout = 539,7 N·m
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 7,183 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(39000·613592) = 0,1254 rad
φ = 0,1254·180/π = 7,183°

Jawaban

φ = 7,183°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 61,12 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 2000 = −500 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 1500 N·m
τmax = 16·1,5 × 10⁶/(π·50³) = 61,12 MPa

Jawaban

τmax = 61,12 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 25 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (50 + 50)/2 = 50 MPa
R = σ1 − C = 75 − 50 = 25 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 0²) = 25 MPa

Jawaban

τxy = 25 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 88,32 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

σxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 75 MPa, R = 26,93 MPa
σ1 = 101,9 MPa, σ2 = 48,07 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(101,9² − 101,9·48,07 + 48,07²) = 88,32 MPa

Jawaban

σvM = 88,32 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1646 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·600/9,111 × 10⁸ = 0,1646 mm

Jawaban

δ = 0,1646 mm
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 422,2 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·7461 = 8,443 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (kuningan)

Beban terbesar

Pmax = 0,0005·8,443 × 10⁸ = 422152 N = 422,2 kN

Jawaban

Pmax = 422,2 kN
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 11,51 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2500² = 11515 N = 11,51 kN

Jawaban

Pcr = 11,51 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 34,27 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/12,5 = 240

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Jawaban

σcr = 34,27 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 7,188 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(40000/10) = 63,25 rad/s
fn = 63,25/(2π) = 10,07 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 10,07·√(1 − 0,7²) = 7,188 Hz

Jawaban

fd = 7,188 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 60 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 30 + 30 = 60 kN/m

Jawaban

keq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design