Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,1 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 48 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 1,1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 16N₂ = 48η = 96%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (18 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (24 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (40 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 18B = 72C = 24D = 40

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 3 m; segmen BC berdiameter 50 mm dan panjang 3 m. Torsi 200 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 3 md₂ = 50 mm, L₂ = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 30 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 40 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 12 kg pada pegas dengan kekakuan 200 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,35. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 12 kgk = 200 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 60 kN/m dan pegas bawah k₂ = 15 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 7,003 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Jawaban

T₁ = 7,003 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 144 rpm

Tingkat pertama

n_B = 960·18/72 = 240 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 240·24/40 = 144 rpm

Jawaban

n_out = 144 rpm

rasio total = 6,667 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 0,8387 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·3000/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,002414 rad

φ_BC = 200000·3000/(80000·613592) = 0,01222 rad

Puntiran total

φ_C = 0,002414 + 0,01222 = 0,01464 rad = 0,8387°

Jawaban

φ_C = 0,8387°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 23,71 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·80·0,7599)) = 23,71 mm

d_i = 0,7·23,71 = 16,6 mm

Jawaban

d_o = 23,71 mm

Poros pejal memerlukan d = 21,64 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −31,72 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 30/67,08 = 0,4472, sin 2θ_s = −60/67,08 = −0,8944

2θ_s = atan2(−60, 30) = −63,43°

Sudut pada elemen

θ_s = −31,72°

periksa: θ_s − θ_p = −31,72 − 13,28 = −45°

Jawaban

θ_s = −31,72°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −7,66 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −0·0,6428 + −10·0,766 = −7,66 MPa

Jawaban

τ_θ = −7,66 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 38,88 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/6,429 × 10⁻⁶ = 38884 N = 38,88 kN

Jawaban

P = 38,88 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 127,3 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 56,59 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 127,3 MPa

Jawaban

σ_max = 127,3 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 16,45 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2500² = 16449 N = 16,45 kN

Jawaban

P_cr = 16,45 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 92,84 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,84 mm

Jawaban

d = 92,84 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 258,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 19,25 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(200000/12) = 129,1 rad/s

f_n = 129,1/(2π) = 20,55 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 20,55·√(1 − 0,35²) = 19,25 Hz

Jawaban

f_d = 19,25 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,757 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/15 → k_eq = 60·15/(60 + 15) = 12 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(12000/40) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Jawaban

f_n = 2,757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design