Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 32N2​ = 36

Sebuah motor 0,75 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 32 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 36 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 0,75 kWn1 = 1500 rpmN1 = 32N2 = 36η = 97%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 48B = 72C = 12D = 48

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (48 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (48 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 960 rpmA = 48B = 72C = 12D = 48
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 20 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 200 N·mABC1,2 m3 m

Poros baja pejal berdiameter 20 mm dijepit di A. Torsi 100 N·m bekerja di B, 1,2 m dari A, dan torsi 200 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 3 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 20 mmTB = 100 N·mTC = 200 N·mAB = 1,2 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 160σy​ = 20τxy​ = −20MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 160 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −80σy​ = 80τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −80 MPaσy = 80 MPaτxy = −30 MPaθ = 40°
τθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmAluminium0,5 mP = 95 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmTembaga1,5 mØ 12 mmTembaga2 mP = 15 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 15 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 200 kN/mc = 320 N·s/mm = 20 kg

Massa 20 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 200 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 320 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 20 kgk = 200 kN/mc = 320 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 25k2​ = 60m = 40 kg

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 25 kN/m dan pegas bawah k₂ = 60 kN/m. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 40 kgk1 = 25 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 5,21 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/157,1 = 4,775 N·m

Torsi keluaran

T2 = 4,775·36/32·0,97 = 5,21 N·m

Jawaban

T2 = 5,21 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 160 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 960·48/72 = 640 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 640·12/48 = 160 rpm

Jawaban

nout = 160 rpm

rasio total = 6 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 4,384 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(26000·251327) = 0,07652 rad
φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Jawaban

φ = 4,384°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 191 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 100 = 300 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 300 N·m
τmax = 16·300000/(π·20³) = 191 MPa

Jawaban

τmax = 191 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 49,23 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 90 − 70·0,766 − (−20)·0,6428 = 49,23 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 130,8 MPa, σx′ + σy′ = 180 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 49,23 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = 73,58 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−80·0,9848 + −30·0,1736 = 73,58 MPa

Jawaban

τθ = 73,58 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 12000 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 840/70000 = 0,012 = 12000 µε

Jawaban

ε = 12000 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 132,6 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 11,94 MPa
σ2 = 132,6 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 132,6 MPa

Jawaban

σmax = 132,6 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 7,087 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3500² = 7087 N = 7,087 kN

Jawaban

Pcr = 7,087 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 31,58 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/10 = 250

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Jawaban

σcr = 31,58 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,08

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·20) = 4000 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 320/4000 = 0,08

Jawaban

ζ = 0,08

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 17,65 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/25 + 1/60 → keq = 25·60/(25 + 60) = 17,65 kN/m

Jawaban

keq = 17,65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design