Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 20N2​ = 40

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 40 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 2,2 kWn1 = 1450 rpmN1 = 20N2 = 40η = 97%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 30B = 50C = 12D = 48

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (30 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan roda gigi B (50 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (48 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1440 rpmA = 30B = 50C = 12D = 48
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
d = 15 mmT = 20 N·m200 mmφ = 1,77°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 15 mm dipuntir oleh torsi 20 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 1,77° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 20 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 1,77°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 5 kW pada 750 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 5 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 90σy​ = 110τxy​ = 50MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa, dengan σz = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τabs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σx = 90 MPaσy = 110 MPaτxy = 50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −10σy​ = 120τxy​ = −20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −10 MPaσy = 120 MPaτxy = −20 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 25 mmKuningan2 mP = 80 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 25 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmKuningan1 mØ 12 mmTembaga2 mP = 120 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 120 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m25 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 1 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 80 kN/mc = 570 N·s/mm = 25 kg

Massa 25 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 80 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 570 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 25 kgk = 80 kN/mc = 570 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 12k2​ = 80m = 40 kg

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 80 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 28,11 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Torsi keluaran

T2 = 14,49·40/20·0,97 = 28,11 N·m

Jawaban

T2 = 28,11 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 216 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1440·30/50 = 864 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 864·12/48 = 216 rpm

Jawaban

nout = 216 rpm

rasio total = 6,667 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: G = 26,05 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 1,77·π/180 = 0,03089 rad

Modulus geser

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·200/(4970·0,03089) = 26052 MPa
G = 26,05 GPa

Jawaban

G = 26,05 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 16,29 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·75)) = 16,29 mm

Jawaban

d = 16,29 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τabs = 75,5 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σmax − σmin)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama sebidang

C = 100 MPa, R = √((−10)² + 50²) = 50,99 MPa
σ1 = 151 MPa, σ2 = 49,01 MPa, σz = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(102, 151, 49,01)/2 = 75,5 MPa

Jawaban

τabs = 75,5 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = −66,29 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−65·−0,866 + −20·0,5 = −66,29 MPa

Jawaban

τθ = −66,29 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1630 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 163/100000 = 0,00163 = 1630 µε

Jawaban

ε = 1630 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 1061 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 169,8 MPa
σ2 = 1061 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 1061 MPa

Jawaban

σmax = 1061 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 34,54 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1250² = 34544 N = 34,54 kN

Jawaban

Pcr = 34,54 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 69,09 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Jawaban

σcr = 69,09 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,2015

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·25) = 2828 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 570/2828 = 0,2015

Jawaban

ζ = 0,2015

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 92 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 12 + 80 = 92 kN/m

Jawaban

keq = 92 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design