Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 60 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 80 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 2,2 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 60N₂ = 80η = 98%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 7,5 kW pada 960 rpm menggerakkan roda gigi A (45 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (80 gigi). Roda gigi C (72 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (80 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 7,5 kWn_in = 960 rpmA = 45B = 80C = 72D = 80η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 35 mm, panjang 1,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 100 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 100 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal meneruskan 50 kW pada 500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 350 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 35 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 35 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 10 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 15 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 80 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 10 kgk = 15 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 50 kN/m dan pegas bawah k₂ = 5 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 9,466 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 7,244·80/60·0,98 = 9,466 N·m

Jawaban

T₂ = 9,466 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 133 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 960·(45/80)·(72/80) = 486 rpm

ω_out = 2π·486/60 = 50,89 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 7500·0,95² = 6769 W

T_out = P_out/ω_out = 6769/50,89 = 133 N·m

Jawaban

T_out = 133 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,4726 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Sudut puntir

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·1500/(39000·466269) = 0,008249 rad

φ = 0,008249·180/π = 0,4726°

Jawaban

φ = 0,4726°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 68,04 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 68,04 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(40,18, 68,04) = 68,04 mm

Jawaban

d = 68,04 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 7,973 °

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 80 − 10) = 15,95°

Sudut pada elemen

θ_p = 7,973°

Jawaban

θ_p = 7,973°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 3,082

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 15 MPa, R = 65 MPa

σ₁ = 80 MPa, σ₂ = −50 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(80² − 80·(−50) + (−50)²) = 113,6 MPa

n = 350/113,6 = 3,082

Jawaban

n = 3,082

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1382 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5027 = 6,511 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·600/6,511 × 10⁸ = 0,1382 mm

Jawaban

δ = 0,1382 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,157 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·219911/573341 = 11507 N

Tegangan

σ₂ = 11507/1257 = 9,157 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,157 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 78,48 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78,48 kN

Jawaban

P_cr = 78,48 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 72,15 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,15 mm

Jawaban

d = 72,15 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 277,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1033

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·10) = 774,6 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 80/774,6 = 0,1033

Jawaban

ζ = 0,1033

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 4,545 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/5 → k_eq = 50·5/(50 + 5) = 4,545 kN/m

Jawaban

k_eq = 4,545 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design