Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
d1​ = 160 mmd2​ = 200 mm720 rpmT1​ = 1000 NT2​ = 400 NP = ?

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 160 mm pada 720 rpm. Tegangannya 1000 N pada sisi tarik dan 400 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d1 = 160 mmn1 = 720 rpmT1 = 1000 NT2 = 400 N
P = kW
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 36B = 72C = 48D = 60

Sebuah motor 2,2 kW pada 960 rpm menggerakkan roda gigi A (36 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (48 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (60 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran Tout.

P = 2,2 kWnin = 960 rpmA = 36B = 72C = 48D = 60ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 250 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 250 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 250 N·mdi/do = 0,7τallow = 60 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
d = ?50 kW, 1450 rpm

Poros baja pejal meneruskan 50 kW pada 1450 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 50 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 110σy​ = −20τxy​ = −20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 110 MPaσy = −20 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 40σy​ = 0τxy​ = −20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = 40 MPaσy = 0 MPaτxy = −20 MPaθ = 60°
τθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12500 mm200 mmØ20Ø30δ = 0,2 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
20 kN12400 mm400 mmØ20Ø40σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 55 kNL = 4 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 55 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 25 kN/mζ = 0,3m = 25 kg

Massa 25 kg pada pegas dengan kekakuan 25 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,3. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 25 kgk = 25 kN/mζ = 0,3
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 10k2​ = 60m = 25 kg

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 10 kN/m dan pegas bawah k₂ = 60 kN/m. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 25 kgk1 = 10 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 3,619 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 6,032 m/s

Daya

P = (1000 − 400)·6,032 = 3619 W = 3,619 kW

Jawaban

P = 3,619 kW
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: Tout = 51,48 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

nout = 960·(36/72)·(48/60) = 384 rpm
ωout = 2π·384/60 = 40,21 rad/s

Daya dan torsi keluaran

Pout = 2200·0,97² = 2070 W
Tout = Pout/ωout = 2070/40,21 = 51,48 N·m

Jawaban

Tout = 51,48 N·m
3.Torsi poros

Jawaban: do = 30,34 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0,7599)) = 30,34 mm
di = 0,7·30,34 = 21,24 mm

Jawaban

do = 30,34 mm

Poros pejal memerlukan d = 27,69 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 39,37 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm
dτ = ∛(16·329286/(π·60)) = 30,35 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·329286/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 39,37 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(30,35, 39,37) = 39,37 mm

Jawaban

d = 39,37 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 68,01 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((110 − −20)/2)² + −20²) = 68,01 MPa

Jawaban

τmax = 68,01 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = −7,321 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −20·0,866 + −20·−0,5 = −7,321 MPa

Jawaban

τθ = −7,321 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 16,67 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,2/1,2 × 10⁻⁵ = 16667 N = 16,67 kN

Jawaban

P = 16,67 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 10,61 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 20000·314159/471239 = 13333 N

Tegangan

σ2 = 13333/1257 = 10,61 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 10,61 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 13,25 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Jawaban

Pcr = 13,25 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 92,32 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,32 mm

Jawaban

d = 92,32 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 346,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 4,801 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(25000/25) = 31,62 rad/s
fn = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,3²) = 4,801 Hz

Jawaban

fd = 4,801 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 8,571 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/10 + 1/60 → keq = 10·60/(10 + 60) = 8,571 kN/m

Jawaban

keq = 8,571 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design