Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 16N2​ = 18

Sebuah motor 1,1 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 18 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 1,1 kWn1 = 1440 rpmN1 = 16N2 = 18η = 96%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
d1​ = 150 mmd2​ = 300 mm1440 rpmC = 800 mmθ = ?

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 150 mm dan puli 300 mm yang jarak sumbunya 800 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d1 = 150 mmd2 = 300 mmC = 800 mm
θ = °
3.Torsi porosSedang
T = 100 N·md = 50 mmL = 1,2 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 60 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 250 N·mABC3 m1,5 m

Poros aluminium pejal berdiameter 60 mm dijepit di A. Torsi 400 N·m bekerja di B, 3 m dari A, dan torsi 250 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,5 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 60 mmTB = 400 N·mTC = 250 N·mAB = 3 mBC = 1,5 m
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = −20τxy​ = 50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 100 MPaσy = −20 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
35°D = 1000 mm, t = 10 mm, p = 2,5 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1000 mm dan tebal dinding 10 mm berisi gas bertekanan gauge 2,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 35° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1000 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 35°
σn = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmAluminium1 mP = 105 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmTembaga2 mØ 12 mmAluminium0,5 mP = 30 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m50 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 50 kNL = 1,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 50 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 20 kN/mζ = 0,7m = 10 kg

Massa 10 kg pada pegas dengan kekakuan 20 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 10 kgk = 20 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 15k2​ = 60k3​ = 40m = 40 kg

Massa 40 kg tergantung pada pegas k₃ = 40 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk1 = 15 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 7,878 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Torsi keluaran

T2 = 7,295·18/16·0,96 = 7,878 N·m

Jawaban

T2 = 7,878 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 169,2 °

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut sabuk

asin(0,09375) = 5,379°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·5,379 = 169,2°

Jawaban

θ = 169,2°
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,431 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·613592) = 0,007522 rad
φ = 0,007522·180/π = 0,431°

Jawaban

φ = 0,431°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 5,895 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 400 = −150 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 250 N·m
τmax = 16·250000/(π·60³) = 5,895 MPa

Jawaban

τmax = 5,895 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 78,1 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((100 − −20)/2)² + 50²) = 78,1 MPa

Jawaban

τmax = 78,1 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 104,4 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 2,5·500/10 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 62,5·sin²35° + 125·cos²35° = 104,4 MPa

Jawaban

σn = 104,4 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 4775 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/70000 = 0,004775 = 4775 µε

Jawaban

ε = 4775 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,428 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 31,18 MPa
σ2 = 265,3 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 31,18·2000/117000 = 0,533 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265,3·500/70000 = 1,895 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,428 mm

Jawaban

δ = 2,428 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 913,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/1500² = 913852 N = 913,9 kN

Jawaban

Pcr = 913,9 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 58,37 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 58,37 mm

Jawaban

d = 58,37 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 205,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 5,083 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(20000/10) = 44,72 rad/s
fn = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,7²) = 5,083 Hz

Jawaban

fd = 5,083 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 4,064 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Hanya k1 dan k2 yang paralel. Pasangan itu seri dengan k3, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k12 = 15 + 60 = 75 kN/m
keq = 75·40/(75 + 40) = 26,09 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(26087/40) = 25,54 rad/s
fn = 25,54/(2π) = 4,064 Hz

Jawaban

fn = 4,064 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design