Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 150 mm pada 720 rpm menggerakkan puli 450 mm dengan sabuk yang slipnya 2,5 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 720 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 24 gigi dan setiap roda gigi planet 15 gigi. Roda gigi cincin ditahan diam dan matahari digerakkan pada 900 rpm. Cari kecepatan n_c pembawa planet.

N_s = 24N_p = 15n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 25 mm dan panjang 1 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 0,8 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 100 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 1 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,8 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 100 N·m bekerja di B, 0,8 m dari A, dan torsi 2000 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmT_B = 100 N·mT_C = 2000 N·mAB = 0,8 mBC = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 800 mm dan tebal dinding 10 mm berisi gas bertekanan gauge 2,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 30° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τ_n| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 800 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 30°

|τ_n| = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 160 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 25 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 9,1 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 25 mmx₂ = 9,1 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 40 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 40 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 234 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

720·150/450 = 240 rpm

Dengan slip

n₂ = 240·0,975 = 234 rpm

Jawaban

n₂ = 234 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_c = 276,9 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·15 = 54

Persamaan Willis dengan cincin diam

Ambil n_r = 0 dan selesaikan untuk kecepatan pembawa.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −54/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·24/78 = 276,9 rpm

Jawaban

n_c = 276,9 rpm

Pembawa berputar searah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 63,66 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·25³) = 32,59 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Jawaban

τ_max = 63,66 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 20,58 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 100 = 1900 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,9 × 10⁶·800/(39000·251327) = 0,1551 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·1000/(39000·251327) = 0,204 rad

Puntiran ujung C

φ_C = 0,1551 + 0,204 = 0,3591 rad → |φ_C| = 20,58°

Jawaban

φ_C = 20,58°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 26,93 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((80 − 30)/2)² + 10²) = 26,93 MPa

Jawaban

τ_max = 26,93 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τ_n| = 21,65 MPa

Tegangan dinding

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2,5·400/10 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τ_n| = (100 − 50)·sin 30°·cos 30° = 21,65 MPa

Jawaban

|τ_n| = 21,65 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,2716 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·7461 = 8,836 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 300000·800/8,836 × 10⁸ = 0,2716 mm

Jawaban

δ = 0,2716 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 488,4 kN

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·8482 = 1,074 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,0008, 0,0004545) = 0,0004545 (perunggu)

Beban terbesar

P_max = 0,0004545·1,074 × 10⁹ = 488375 N = 488,4 kN

Jawaban

P_max = 488,4 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 70,18 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3000² = 70184 N = 70,18 kN

Jawaban

P_cr = 70,18 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 24,87 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Jawaban

σ_cr = 24,87 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,08016

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(25/9,1) = 0,5053

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5053/√(39,48 + 0,2553) = 0,08016

Jawaban

ζ = 0,08016

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,6 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 25 + 40 = 65 kN/m

k_eq = 65·40/(65 + 40) = 24,76 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(24762/20) = 35,19 rad/s

f_n = 35,19/(2π) = 5,6 Hz

Jawaban

f_n = 5,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design