Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Cacing dengan 1 ulir berputar pada 960 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 50 gigi. Cari kecepatan n_w roda cacing.

z = 1N_w = 50n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 12 gigi dan setiap roda gigi planet 15 gigi. Roda gigi cincin ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1440 rpm. Cari kecepatan n_c pembawa planet.

N_s = 12N_p = 15n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 460 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = −80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 50 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 125 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 125 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 10 mm diikuti 4 siklus kemudian oleh puncak 0,8 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₄ = 0,8 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 15 kN/m dan pegas bawah k₂ = 100 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_w = 19,2 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 960·1/50 = 19,2 rpm

Jawaban

n_w = 19,2 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_c = 320 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·15 = 42

Persamaan Willis dengan cincin diam

Ambil n_r = 0 dan selesaikan untuk kecepatan pembawa.

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −42/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·12/54 = 320 rpm

Jawaban

n_c = 320 rpm

Pembawa berputar searah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 8,768 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(39000·251327) = 0,153 rad

φ = 0,153·180/π = 8,768°

Jawaban

φ = 8,768°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 31,21 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

Jawaban

d = 31,21 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 67,08 MPa

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 110)/2)² + −30²) = 67,08 MPa

Jawaban

τ_max = 67,08 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 4,989

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −45 MPa, R = 46,1 MPa

σ₁ = 1,098 MPa, σ₂ = −91,1 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 92,2 MPa

n = 460/92,2 = 4,989

Jawaban

n = 4,989

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,401 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 50·1000/314,2 = 159,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 159,2/117000 = 0,00136 = 1360 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,00136·2500 mm = 3,401 mm

Jawaban

δ = 3,401 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 52,32 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 100000·301593/458673 = 65753 N

Tegangan

σ₂ = 65753/1257 = 52,32 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 52,32 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 313,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Jawaban

P_cr = 313,9 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 64,28 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 64,28 mm

Jawaban

d = 64,28 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 130,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,09999

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/4)·ln(10/0,8) = 0,6314

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Jawaban

ζ = 0,09999

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 1,818 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/100 → k_eq = 15·100/(15 + 100) = 13,04 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(13043/100) = 11,42 rad/s

f_n = 11,42/(2π) = 1,818 Hz

Jawaban

f_n = 1,818 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design