Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 216 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 4 mm dan reduksi kecepatan 5 : 1. Berapa jumlah gigi N₂ yang harus dimiliki roda gigi?

a = 216 mmm = 4 mmi = 5

N₂ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (24 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (45 gigi). Roda gigi C (15 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 24B = 45C = 15D = 72

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 750 N·m bekerja di B, 1,5 m dari A, dan torsi 100 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,2 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 100 N·mAB = 1,5 mBC = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σ_vM.

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 115 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 8 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 15 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 30 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 8 kgk = 15 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 25 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₂ = 90

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·216/4 = 108

Bagi menurut rasio

N₁ = 108/(1 + 5) = 18

N₂ = 5·18 = 90

Jawaban

N₂ = 90

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 106,7 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 960·24/45 = 512 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 512·15/72 = 106,7 rpm

Jawaban

n_out = 106,7 rpm

rasio total = 9 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,425 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·251327) = 0,02487 rad

φ = 0,02487·180/π = 1,425°

Jawaban

φ = 1,425°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 2,436 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 750 = −650 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −650000·1500/(80000·251327) = −0,04849 rad

φ_BC = 100000·1200/(80000·251327) = 0,005968 rad

Puntiran ujung C

φ_C = −0,04849 + 0,005968 = −0,04252 rad → |φ_C| = 2,436°

Jawaban

φ_C = 2,436°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 25 MPa

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((50 − 20)/2)² + −20²) = 25 MPa

Jawaban

τ_max = 25 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_vM = 74,16 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −50 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = −18,38 MPa, σ₂ = −81,62 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−18,38)² − (−18,38)·(−81,62) + (−81,62)²) = 74,16 MPa

Jawaban

σ_vM = 74,16 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1148 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·3063 = 5,576 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·800/5,576 × 10⁸ = 0,1148 mm

Jawaban

δ = 0,1148 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 366,1 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 366,1 MPa

Jawaban

σ_max = 366,1 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 116,6 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/4200² = 116563 N = 116,6 kN

Jawaban

P_cr = 116,6 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 2,763 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Jawaban

σ_cr = 2,763 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,0433

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·8) = 692,8 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 30/692,8 = 0,0433

Jawaban

ζ = 0,0433

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 7,958 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 25 = 125 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(125000/50) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

Jawaban

f_n = 7,958 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design