Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 160 mm pada 1450 rpm menggerakkan puli 315 mm dengan sabuk yang slipnya 4 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 15 kW pada 960 rpm menggerakkan roda gigi A (15 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (18 gigi). Roda gigi C (12 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 15 kWn_in = 960 rpmA = 15B = 18C = 12D = 72η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1000 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 1,2 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 60 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,5 mb = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Elemen diputar 60° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 20 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 30 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 70 kN bersama torsi 750 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmF = 70 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 40 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 18,8 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 40 mmx₂ = 18,8 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 5 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 707 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1450·160/315 = 736,5 rpm

Dengan slip

n₂ = 736,5·0,96 = 707 rpm

Jawaban

n₂ = 707 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 990,1 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 960·(15/18)·(12/72) = 133,3 rpm

ω_out = 2π·133,3/60 = 13,96 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 15000·0,96² = 13824 W

T_out = P_out/ω_out = 13824/13,96 = 990,1 N·m

Jawaban

T_out = 990,1 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,4789 °

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·613592) = 0,008358 rad

φ = 0,008358·180/π = 0,4789°

Jawaban

φ = 0,4789°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 0,7698 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1,2/2,7 = 444,4 N·m

T_B = 1000·1,5/2,7 = 555,6 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 444444·1500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01344 rad = 0,7698°

Jawaban

φ_C = 0,7698°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 26,16 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 15 − 5·(−0,5) − (−10)·0,866 = 26,16 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 3,84 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 26,16 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 199,4 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 70000/(π·30²/4) = 70000/706,9 = 99,03 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 49,51 MPa

R = √(49,51² + 141,5²) = 149,9 MPa

σ₁ = C + R = 199,4 MPa

σ₂ = C − R = −100,4 MPa

Jawaban

σ₁ = 199,4 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 727,6 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490,9 = 50,93 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 50,93/70000 = 0,0007276 = 727,6 µε

Jawaban

ε = 727,6 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 846,1 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·8482 = 1,269 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0006667) = 0,0006667 (tembaga)

Beban terbesar

P_max = 0,0006667·1,269 × 10⁹ = 846136 N = 846,1 kN

Jawaban

P_max = 846,1 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 11,94 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2100² = 11936 N = 11,94 kN

Jawaban

P_cr = 11,94 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 2,429 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533,3² = 2,429 MPa

Jawaban

σ_cr = 2,429 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,05997

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(40/18,8) = 0,3775

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3775/√(39,48 + 0,1425) = 0,05997

Jawaban

ζ = 0,05997

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,449 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 60 + 30 = 90 kN/m

k_eq = 90·5/(90 + 5) = 4,737 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(4737/20) = 15,39 rad/s

f_n = 15,39/(2π) = 2,449 Hz

Jawaban

f_n = 2,449 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design