Roda gigi & rangkaian roda gigi
- Roda gigi yang berpasangan
- n1·N1 = n2·N2
- Torsi
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Daya
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian roda gigi majemuk
- rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat
Perancangan Elemen Mesin: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Torsi poros
- Tegangan geser
- τ = T·r/J
- Poros pejal
- J = πd⁴/32
- Poros berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut puntir
- φ = TL/(GJ)
- Daya
- P = T·ω = 2πnT/60
Metode
- Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
- Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
- Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jari-jari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegangan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Bidang miring
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metode
- Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
- Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegangan & regangan aksial
- Tegangan normal
- σ = F/A
- Regangan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pertambahan panjang
- ΔL = FL/(EA)
- Regangan termal
- εT = α·ΔT
Tekuk kolom
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang efektif
- K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
- Tegangan kritis
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanis
- Frekuensi alami
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Dari defleksi statis
- ωn = √(g/δst)
- Redaman kritis
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Rasio redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Dekremen logaritmik
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Pegas paralel
- k = k1 + k2
- Pegas seri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soal latihan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
Sebuah motor 1,5 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 48 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.
P = 1,5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 16N2 = 48η = 97%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (50 gigi) pada poros masukan berputar pada 1500 rpm dan menggerakkan roda gigi B (60 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 375 rpm. Berapa jumlah gigi ND yang harus dimiliki roda gigi D?
nin = 1500 rpmA = 50B = 60C = 18nout = 375 rpm
ND =
3.Torsi porosSedang
Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.
T = 250 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Poros baja pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 750 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 100 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 3 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.
d = 40 mmTB = 750 N·mTC = 100 N·mAB = 2,5 mBC = 3 mG = 80 GPa
φC = °
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.
σx = 30 MPaσy = 110 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x.
σx = 160 MPaσy = 90 MPaτxy = −30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.
P = 20 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.
P = 105 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Tekuk kolomSedang
Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.
L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
Massa 20 kg pada pegas dengan kekakuan 50 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,4. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.
m = 20 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
Massa 20 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 12 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: T2 = 28,95 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Torsi motor
ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m
Torsi keluaran
T2 = 9,947·48/16·0,97 = 28,95 N·m
Jawaban
T2 = 28,95 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: ND = 60
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Kecepatan poros antara
nB = nC = 1500·50/60 = 1250 rpm
Jumlah gigi roda gigi D
ND = C·nC/nout = 18·1250/375 = 60
Jawaban
ND = 60
3.Torsi poros
Jawaban: φ = 17,1 °
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Momen inersia polar
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
Sudut puntir
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·15708) = 0,2984 rad
φ = 0,2984·180/π = 17,1°
Jawaban
φ = 17,1°
4.Torsi poros
Jawaban: φC = 3,776 °
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Torsi dalam
Arah TC diambil sebagai positif.
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 750 = −650 N·m
Puntiran tiap segmen
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −650000·2500/(80000·251327) = −0,08082 rad
φBC = 100000·3000/(80000·251327) = 0,01492 rad
Puntiran ujung C
φC = −0,08082 + 0,01492 = −0,0659 rad → |φC| = 3,776°
Jawaban
φC = 3,776°
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: θp = −71,57 °
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Sudut pada lingkaran
Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−30, 30 − 110) = −143,1°
Sudut pada elemen
θp = −71,57°
Jawaban
θp = −71,57°
Sudut positif berlawanan arah jarum jam.
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: σθ = 155 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Persamaan transformasi
σθ = 125 + 35·0 + −30·−1 = 155 MPa
Jawaban
σθ = 155 MPa
7.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: δ = 1,421 mm
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
Tegangan
A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa
Regangan (hukum Hooke)
E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 99,47/70000 = 0,001421 = 1421 µε
Pertambahan panjang
δ = ε·L = 0,001421·1000 mm = 1,421 mm
Jawaban
δ = 1,421 mm
8.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: δ = 3,537 mm
Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.
Gaya sama di kedua segmen
Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 109,1 MPa
σ2 = 334,2 MPa
Jumlahkan pertambahan panjang segmen
δ1 = σ1L1/E1 = 109,1·2000/117000 = 1,866 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 334,2·1000/200000 = 1,671 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,537 mm
Jawaban
δ = 3,537 mm
9.Tekuk kolom
Jawaban: Pcr = 17,58 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Panjang efektif
KL = 2·2500 = 5000 mm
Beban kritis
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17,58 kN
Jawaban
Pcr = 17,58 kN
10.Tekuk kolom
Jawaban: σcr = 111 MPa
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Jari-jari girasi dan kelangsingan
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133,3
Tegangan kritis
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa
Jawaban
σcr = 111 MPa
11.Getaran mekanis
Jawaban: fd = 7,293 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi alami tak teredam
ωn = √(50000/20) = 50 rad/s
fn = 50/(2π) = 7,958 Hz
Frekuensi alami teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,4²) = 7,293 Hz
Jawaban
fd = 7,293 Hz
12.Getaran mekanis
Jawaban: fn = 7,293 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.
keq = 30 + 12 = 42 kN/m
Frekuensi alami
ωn = √(42000/20) = 45,83 rad/s
fn = 45,83/(2π) = 7,293 Hz
Jawaban
fn = 7,293 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design