Pengukuran dan Instrumentasi: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Jembatan Wheatstone & strain gauge

Tegangan pembagi: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Haluaran: V_ab = V_a − V_b
Keseimbangan: R₁/R₂ = R₃/R₄
Jembatan kawat geser: R/R_x = l/(100 − l)
Resistansi Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Faktor pengukur: ΔR/R = GF·ε
Keluaran jembatan: seperempat V_s·GF·ε/4, setengah V_s·GF·ε/2, penuh V_s·GF·ε
Perubahan kecil, satu lengan: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tegangan: σ = E·ε

Metode

Perlakukan jembatan sebagai dua pembagi tegangan pada catu yang sama.
Untuk keseimbangan, setel R₁/R₂ = R₃/R₄ lalu selesaikan untuk resistor yang tidak diketahui.
Untuk jembatan tak seimbang, cari V_a dan V_b dari pembagi lalu kurangkan; gunakan ekuivalen Thévenin bila alat ukur membebani keluaran.
Untuk strain gauge, ubah regangan menjadi ΔR/R = GF·ε dan gunakan V_s·GF·ε/4, /2, atau ×1 untuk jembatan seperempat, setengah, atau penuh.

Akuisisi data & sampling

Kriteria Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frekuensi alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Ukuran langkah: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kesalahan kuantisasi (pembulatan): ±½ LSB
Kode ADC dengan pemotongan: D = ⌊V_in/LSB⌋
Jumlah bit untuk resolusi r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, sinus skala penuh: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Laju data: kanal × f_s × N bit/s
ADC termultipleks: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Pembagi baud rate: baud = f_clk/(16·D)

Metode

Tuliskan apa yang diketahui: laju sampling, frekuensi sinyal, jumlah bit, rentang masukan, baud rate.
Pada soal sampling, bandingkan setiap frekuensi dengan f_s/2; frekuensi yang lebih tinggi muncul pada f_a = |f − k·f_s| dengan kelipatan f_s terdekat.
Pada soal resolusi, cari 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, atau N terkecil dengan 2ᴺ ≥ rentang/resolusi.
Pada soal laju data dan tautan UART, hitung semua yang dikirim: kanal, sampel per detik, bit atau byte utuh per sampel, serta bit start, paritas, dan stop pada setiap frame.

Rangkaian op-amp

Penguat pembalik: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Penguat tak membalik: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Penguat penjumlah: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Op-amp ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistor seri & paralel

Resistor seri: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistor paralel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dua resistor paralel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Hukum Ohm: V = I·R
Daya: P = V·I = I²R = V²/R

Metode

Mulailah dari ujung jaringan yang paling jauh dari terminal.
Gabungkan resistor seri dengan menjumlahkannya, dan resistor paralel dengan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Gambar ulang rangkaian setelah setiap langkah.
Ulangi sampai tersisa satu resistor di antara terminal.

Thévenin & Norton

Tegangan Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistansi Thévenin: R_th: semua sumber dimatikan, dilihat dari a–b
Arus Norton: I_N = V_th/R_th
Arus beban: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Transfer daya maksimum: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metode

Lepaskan beban dan tandai kedua terminal a dan b.
Cari tegangan rangkaian terbuka antara a dan b: inilah V_th.
Matikan semua sumber independen dan cari hambatan yang terlihat dari a–b: inilah R_th.
Pasang kembali beban pada rangkaian ekuivalen: V_th seri dengan R_th.
Untuk ekuivalen Norton, konversikan: I_N = V_th/R_th, dengan R_N = R_th secara paralel.

2Soal latihan

1.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSedang

Sebuah jembatan dengan empat lengan 250 Ω dicatu dengan 5 V. Ketika sensor R₂ berubah, keluarannya menunjukkan V_ab = 12,44 mV. Cari perubahan eksak ΔR dari R₂.

V_s = 5 VR = 250 ΩV_ab = 12,44 mV

ΔR = Ω

2.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSulit

Sebuah jembatan seperempat (satu gauge aktif, GF = 2,05) dieksitasi dengan 10 V. Regangan terbesar yang akan diukur adalah 1500 µε, dan harus menghasilkan 3,3 V pada masukan konverter analog-ke-digital. Cari penguatan penguat G.

V_s = 10 VGF = 2,05ε_max = 1500 µεV_FS = 3,3 V

G =

3.Akuisisi data & samplingSedang

Gelombang sinus 6,5 kHz disampel pada 10 kHz tanpa filter anti-aliasing. Pada frekuensi berapa f_a ia muncul dalam sampel? Berikan dalam kHz.

f = 6,5 kHzf_s = 10 kHz

f_a = kHz

4.Akuisisi data & samplingSulit

Sebuah sensor suhu memberi 20 mV/°C (0 V pada 0 °C). Sinyalnya dikuatkan 10 kali dan diumpankan ke ADC 10-bit dengan rentang 0 sampai 3,3 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Cari perubahan suhu ΔT_LSB yang setara dengan satu LSB.

S = 20 mV/°CG = 10N = 10V_FSR = 3,3 V

ΔT_LSB = °C

5.Rangkaian op-ampSedang

Pilih resistor umpan balik R_f yang memberi penguat non-pembalik ini penguatan tegangan 21.

R₁ = 22 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

6.Rangkaian op-ampSulit

Dua tingkat op-amp ideal dihubungkan secara kaskade: penguat membalik (R₁, R_f1) diikuti penguat tak membalik (R₂ ke ground, R_f2 di umpan balik). Keduanya dicatu ±15 V. Masukannya V_in = 0,85 V. Cari tegangan keluaran V_out.

R₁ = 47 kΩR_f1 = 47 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 4,7 kΩV_in = 0,85 V

V_out = V

7.Resistor seri & paralelSedang

Cari resistansi ekuivalen R_eq yang dilihat sumber V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.Resistor seri & paralelSulit

Cari resistansi ekuivalen R_eq yang dilihat sumber V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin & NortonSedang

Cari tegangan Thévenin V_th dilihat dari terminal a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

10.Thévenin & NortonSulit

Cari tegangan Thévenin V_th dilihat dari terminal a–b.

V₁ = 30 VI_s = 5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

3Larutan

1.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: ΔR = 2,5 Ω

Jembatan Wheatstone: dua pembagi tegangan berbagi satu catu V_s. Pembagi kiri R₁–R₂ memberikan V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) dan pembagi kanan R₃–R₄ memberikan V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); keluarannya adalah V_ab = V_a − V_b. Jembatan seimbang (V_ab = 0, tidak ada arus di alat ukur) bila R₁/R₂ = R₃/R₄, yaitu R₁·R₄ = R₂·R₃. Dilihat dari keluarannya, jembatan adalah sumber Thévenin dengan R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tegangan simpul

V_a = 2,5 + 0,01244 = 2,512 V

Selesaikan pembagi

R₂ = 250·2,512/(5 − 2,512) = 252,5 Ω

ΔR = 252,5 − 250 = 2,5 Ω

Jawaban

ΔR = 2,5 Ω

2.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: G = 429,3

Pengukur regangan (strain gauge): sebuah pengukur mengubah resistansinya menurut regangan: ΔR/R = GF·ε, dengan faktor pengukur GF sekitar 2 untuk foil logam. Pada jembatan dengan semua lengan sama dengan R, satu pengukur aktif (jembatan seperempat) memberikan V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dua pengukur aktif dengan regangan berlawanan pada lengan yang berdekatan (setengah jembatan) memberikan V_s·GF·ε/2, dan empat (jembatan penuh) memberikan V_s·GF·ε. Tegangan mekanik mengikuti hukum Hooke, σ = E·ε. Sel beban menyatakan sensitivitasnya dalam mV/V: keluaran pada beban penuh per volt eksitasi.

Keluaran jembatan pada skala penuh

V_o = 7,688 mV

Penguatan

G = 3,3/0,007687 = 429,3

Jawaban

G = 429,3

3.Akuisisi data & sampling

Jawaban: f_a = 3,5 kHz

Sampling: ADC mengukur sinyal sebanyak f_s kali per detik. Menurut teorema Nyquist–Shannon, frekuensi f tertangkap dengan benar hanya selama f < f_s/2, yaitu frekuensi Nyquist (pelipatan), sehingga laju sampling harus melebihi dua kali frekuensi sinyal tertinggi. Frekuensi yang lebih tinggi tidak hilang: ia muncul sebagai alias pada f_a = |f − k·f_s|, dengan bilangan bulat k yang membuat hasilnya berada antara 0 dan f_s/2. Sampel tidak dapat membedakan keduanya, sehingga filter anti-aliasing analog harus menghilangkan semua yang di atas f_s/2 sebelum ADC.

Frekuensi Nyquist

f_s/2 = 5 kHz < f = 6,5 kHz

Kelipatan laju sampling terdekat

k = round(6,5/10) = 1

Frekuensi alias

f_a = |6,5 − 1·10| = 3,5 kHz

Jawaban

f_a = 3,5 kHz

Kurva putus-putus pada gambar adalah alias: kurva itu melewati sampel-sampel yang persis sama.

4.Akuisisi data & sampling

Jawaban: ΔT_LSB = 0,01611 °C

Resolusi ADC: konverter N-bit membagi rentang skala penuhnya V_FSR menjadi 2ᴺ kode, dari 0 sampai 2ᴺ − 1. Satu langkah adalah 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: perubahan terkecil yang dapat ditunjukkan konverter. ADC pemotong memberi kode ⌊V_in/LSB⌋; ADC pembulat tidak pernah menyimpang lebih dari ½ LSB dari nilai sebenarnya, yaitu kesalahan kuantisasinya. Setiap bit tambahan membagi dua LSB dan menambah sekitar 6 dB pada rasio sinyal-terhadap-derau-kuantisasi ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB untuk sinus skala penuh. Untuk mencapai resolusi r pada suatu rentang, pilih N terkecil dengan 2ᴺ ≥ rentang/r.

Ukuran langkah

1 LSB = 3300/1024 = 3,223 mV

Sensitivitas pada ADC

20·10 = 200 mV/°C

Resolusi suhu

ΔT_LSB = 3,223/200 = 0,01611 °C

Jawaban

ΔT_LSB = 0,01611 °C

ADC mencapai skala penuh pada 16,5 °C.

5.Rangkaian op-amp

Jawaban: R_f = 440 kΩ

Aturan op-amp ideal: dengan umpan balik negatif, op-amp mengatur keluarannya sehingga kedua masukan berada pada tegangan yang sama (V₋ = V₊), dan tidak ada arus yang masuk ke masukan mana pun. Menulis KCL di masukan pembalik dengan dua fakta ini memberi keluarannya.

Penguatan penguat non-pembalik

V₋ = V₊ = V_in, dan arus melalui R₁ juga mengalir melalui R_f, jadi V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·22 = 440 kΩ

Jawaban

R_f = 440 kΩ

6.Rangkaian op-amp

Jawaban: V_out = −1,032 V

Penguatan tiap tingkat

A₁ = −R_f1/R₁ = −47/47 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4,7/22 = 1,214

Tingkat demi tingkat

V₁ = −1·0,85 = −0,85 V

V_out = 1,214·(−0,85) = −1,032 V

Jawaban

V_out = −1,032 V

7.Resistor seri & paralel

Jawaban: R_eq = 17,06 Ω

Resistor seri dan paralel: dalam seri, arus yang sama mengalir di setiap resistor dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam paralel, setiap resistor punya tegangan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Jaringan tangga disederhanakan satu pasang demi satu pasang hingga tersisa satu resistansi ekuivalen.

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7,059 Ω

R_eq = R₁ + 7,059 = 10 + 7,059 = 17,06 Ω

Jawaban

R_eq = 17,06 Ω

8.Resistor seri & paralel

Jawaban: R_eq = 6,729 Ω

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R₅ + R₆ = 5 + 4 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 2,769 Ω

R₃ + 2,769 = 12,77 Ω

R₂ ∥ 12,77 = 1,729 Ω

R_eq = R₁ + 1,729 = 5 + 1,729 = 6,729 Ω

Jawaban

R_eq = 6,729 Ω

9.Thévenin & Norton

Jawaban: V_th = 20 V

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan V_th yang seri dengan resistansi R_th. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus I_N = V_th/R_th yang paralel dengan R_th.

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,333 + 4 = 5,333 Ω

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, tidak ada arus yang mengalir di R₃, jadi tidak ada jatuh tegangan dan V_b = V_A. R₁ dan R₂ membentuk pembagi tegangan.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·4/(2+4) = 20 V

10.Thévenin & Norton

Jawaban: V_th = −23,82 V

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·5/(12+5) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 3 = 6,529 Ω

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, satu-satunya jalur Iₛ adalah melalui R₃ ke simpul A. Cari V_A dengan superposisi V₁ dan Iₛ, lalu tambahkan jatuh tegangan pada R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,824 + (−5)·3,529 = −8,824 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −8,824 + (−5)·3 = −23,82 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Pengukuran dan Instrumentasi: paket kilat

1Rumus dan metode

Jembatan Wheatstone & strain gauge

Metode

Akuisisi data & sampling

Metode

Rangkaian op-amp

Resistor seri & paralel

Metode

Thévenin & Norton

Metode

2Soal latihan

3Larutan

Tegangan simpul

Selesaikan pembagi

Jawaban

Keluaran jembatan pada skala penuh

Penguatan

Jawaban

Frekuensi Nyquist

Kelipatan laju sampling terdekat

Frekuensi alias

Jawaban

Ukuran langkah

Sensitivitas pada ADC

Resolusi suhu

Jawaban

Penguatan penguat non-pembalik

Jawaban

Penguatan tiap tingkat

Tingkat demi tingkat

Jawaban

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Jawaban

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Jawaban

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka