Pengukuran dan Instrumentasi: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Jembatan Wheatstone & strain gauge

Tegangan pembagi
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Haluaran
Vab = Va − Vb
Keseimbangan
R1/R2 = R3/R4
Jembatan kawat geser
R/Rx = l/(100 − l)
Resistansi Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Faktor pengukur
ΔR/R = GF·ε
Keluaran jembatan
seperempat Vs·GF·ε/4, setengah Vs·GF·ε/2, penuh Vs·GF·ε
Perubahan kecil, satu lengan
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tegangan
σ = E·ε

Metode

  1. Perlakukan jembatan sebagai dua pembagi tegangan pada catu yang sama.
  2. Untuk keseimbangan, setel R₁/R₂ = R₃/R₄ lalu selesaikan untuk resistor yang tidak diketahui.
  3. Untuk jembatan tak seimbang, cari Va dan Vb dari pembagi lalu kurangkan; gunakan ekuivalen Thévenin bila alat ukur membebani keluaran.
  4. Untuk strain gauge, ubah regangan menjadi ΔR/R = GF·ε dan gunakan Vs·GF·ε/4, /2, atau ×1 untuk jembatan seperempat, setengah, atau penuh.

Akuisisi data & sampling

Kriteria Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frekuensi alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Ukuran langkah
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Kesalahan kuantisasi (pembulatan)
±½ LSB
Kode ADC dengan pemotongan
D = ⌊Vin/LSB⌋
Jumlah bit untuk resolusi r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, sinus skala penuh
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Laju data
kanal × fs × N bit/s
ADC termultipleks
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Pembagi baud rate
baud = fclk/(16·D)

Metode

  1. Tuliskan apa yang diketahui: laju sampling, frekuensi sinyal, jumlah bit, rentang masukan, baud rate.
  2. Pada soal sampling, bandingkan setiap frekuensi dengan fs/2; frekuensi yang lebih tinggi muncul pada fa = |f − k·fs| dengan kelipatan fs terdekat.
  3. Pada soal resolusi, cari 1 LSB = VFSR/2ᴺ, atau N terkecil dengan 2ᴺ ≥ rentang/resolusi.
  4. Pada soal laju data dan tautan UART, hitung semua yang dikirim: kanal, sampel per detik, bit atau byte utuh per sampel, serta bit start, paritas, dan stop pada setiap frame.

Rangkaian op-amp

Penguat pembalik
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Penguat tak membalik
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Penguat penjumlah
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Op-amp ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistor seri & paralel

Resistor seri
Req = R1 + R2 + …
Resistor paralel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dua resistor paralel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Hukum Ohm
V = I·R
Daya
P = V·I = I²R = V²/R

Metode

  1. Mulailah dari ujung jaringan yang paling jauh dari terminal.
  2. Gabungkan resistor seri dengan menjumlahkannya, dan resistor paralel dengan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Gambar ulang rangkaian setelah setiap langkah.
  4. Ulangi sampai tersisa satu resistor di antara terminal.

Thévenin & Norton

Tegangan Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistansi Thévenin
Rth: semua sumber dimatikan, dilihat dari a–b
Arus Norton
IN = Vth/Rth
Arus beban
IL = Vth/(Rth + RL)
Transfer daya maksimum
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metode

  1. Lepaskan beban dan tandai kedua terminal a dan b.
  2. Cari tegangan rangkaian terbuka antara a dan b: inilah Vth.
  3. Matikan semua sumber independen dan cari hambatan yang terlihat dari a–b: inilah Rth.
  4. Pasang kembali beban pada rangkaian ekuivalen: Vth seri dengan Rth.
  5. Untuk ekuivalen Norton, konversikan: IN = Vth/Rth, dengan RN = Rth secara paralel.

2Soal latihan

1.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSedang
+−10 V1000 Ω1000 Ω1000 Ω1000 Ωab+−

Sebuah strain gauge 1000 Ω adalah satu lengan (R₂) dari jembatan dengan empat lengan sama 1000 Ω dan eksitasi 10 V. Cari daya Pg yang didisipasikan pada gauge, dalam mW. Pemanasan sendiri membatasi eksitasi.

Vs = 10 VR = 1000 Ω
Pg = mW
2.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSulit
+−2,5 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

Sebuah jembatan dengan lengan 350 Ω dieksitasi dengan 2,5 V dan memiliki empat gauge aktif, dua dalam tarik dan dua dalam tekan (jembatan penuh). Faktor pengukurnya 2 dan regangannya 500 µε. Cari keluaran jembatan Vo dalam mV.

Vs = 2,5 VGF = 2ε = 500 µε
Vo = mV
3.Akuisisi data & samplingSedang
Vin​N = ?400 °C2ᴺ − 10≤ 0,25 °C

Sebuah sensor mengukur suhu pada rentang 400 °C, dan keluarannya mengisi seluruh rentang masukan sebuah ADC. Pembacaan harus membedakan 0,25 °C. Cari jumlah bit terkecil N yang diperlukan ADC.

rentang = 400 °Cresolusi = 0,25 °C
N =
4.Akuisisi data & samplingSulit
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​20 MHz / (16·D)

Sebuah mikrokontroler dengan clock 20 MHz menetapkan baud rate UART-nya sebagai fclk/(16·D), dengan D bilangan bulat yang dibulatkan ke nilai terdekat. Targetnya adalah 115200 baud. Cari galat persentase baud rate sebenarnya (positif bila terlalu cepat).

fclk = 20 MHztarget = 115200 Bd
e = %
5.Rangkaian op-ampSedang
−+Vout​R2​ = 4,7 kΩV1​ = 0,9 VR1​ = 1 kΩV2​ = 2 VR3​ = 1 kΩR4​ = 4,7 kΩ

Penguat selisih memakai op-amp ideal dengan catu ±15 V, dengan R3 = R1 dan R4 = R2. Cari tegangan keluaran Vout.

V1 = 0,9 VV2 = 2 VR1 = R3 = 1 kΩR2 = R4 = 4,7 kΩ
Vout = V
6.Rangkaian op-ampSulit
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩV1​ = −1,2 VR1​ = 100 kΩV2​ = 1,7 VR2​ = 1 kΩIf​

Penguat penjumlah memakai op-amp ideal yang dicatu ±15 V. Cari arus If melalui resistor umpan balik, yang mengalir menuju keluaran.

V1 = −1,2 VV2 = 1,7 VR1 = 100 kΩR2 = 1 kΩRf = 4,7 kΩ
If = mA
7.Resistor seri & paralelSedang
R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩIR2​AR4​15 ΩB

Cari arus IR2 melalui R2.

V1 = 15 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
8.Resistor seri & paralelSulit
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 30 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

Cari arus IR1 yang dialirkan sumber, yang mengalir melalui R1.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
9.Thévenin & NortonSedang
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab

Cari arus Norton IN: arus yang mengalir dari a ke b jika terminal dihubung singkat.

V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
10.Thévenin & NortonSulit
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​6 ABRL​10 ΩIL​

Beban RL = 10 Ω dipasang di a–b. Ganti sisa rangkaian dengan ekuivalen Thévenin-nya dan cari arus beban IL.

V1 = 5 VIs = 6 AR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩRL = 10 Ω
IL = A

3Larutan

1.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: Pg = 25 mW

Jembatan Wheatstone: dua pembagi tegangan berbagi satu catu Vs. Pembagi kiri R1–R2 memberikan Va = Vs·R2/(R1 + R2) dan pembagi kanan R3–R4 memberikan Vb = Vs·R4/(R3 + R4); keluarannya adalah Vab = Va − Vb. Jembatan seimbang (Vab = 0, tidak ada arus di alat ukur) bila R1/R2 = R3/R4, yaitu R1·R4 = R2·R3. Dilihat dari keluarannya, jembatan adalah sumber Thévenin dengan Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tegangan pada gauge

V = 10/2 = 5 V

Daya

Pg = 5²/1000 = 25 mW

Jawaban

Pg = 25 mW
2.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: Vo = 2,5 mV

Pengukur regangan (strain gauge): sebuah pengukur mengubah resistansinya menurut regangan: ΔR/R = GF·ε, dengan faktor pengukur GF sekitar 2 untuk foil logam. Pada jembatan dengan semua lengan sama dengan R, satu pengukur aktif (jembatan seperempat) memberikan Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dua pengukur aktif dengan regangan berlawanan pada lengan yang berdekatan (setengah jembatan) memberikan Vs·GF·ε/2, dan empat (jembatan penuh) memberikan Vs·GF·ε. Tegangan mekanik mengikuti hukum Hooke, σ = E·ε. Sel beban menyatakan sensitivitasnya dalam mV/V: keluaran pada beban penuh per volt eksitasi.

Perubahan resistansi relatif

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0,001

Keluaran jembatan

Vo = Vs·GF·ε = 2,5·0,001 = 2,5 mV

Jawaban

Vo = 2,5 mV
3.Akuisisi data & sampling

Jawaban: N = 11

Resolusi ADC: konverter N-bit membagi rentang skala penuhnya VFSR menjadi 2ᴺ kode, dari 0 sampai 2ᴺ − 1. Satu langkah adalah 1 LSB = VFSR/2ᴺ: perubahan terkecil yang dapat ditunjukkan konverter. ADC pemotong memberi kode ⌊Vin/LSB⌋; ADC pembulat tidak pernah menyimpang lebih dari ½ LSB dari nilai sebenarnya, yaitu kesalahan kuantisasinya. Setiap bit tambahan membagi dua LSB dan menambah sekitar 6 dB pada rasio sinyal-terhadap-derau-kuantisasi ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB untuk sinus skala penuh. Untuk mencapai resolusi r pada suatu rentang, pilih N terkecil dengan 2ᴺ ≥ rentang/r.

Langkah yang diperlukan

400/0,25 = 1600

Bit

log₂(1600) = 10,64
210 = 1024 < 1600 ≤ 211 = 2048
N = 11

Jawaban

N = 11
4.Akuisisi data & sampling

Jawaban: e = −1,357 %

UART: tautan serial asinkron mengirim setiap byte sebagai frame: satu bit start (rendah), bit data, satu bit paritas opsional, dan satu atau dua bit stop (tinggi). Baud rate adalah jumlah bit per detik, jadi satu bit berlangsung Tb = 1/baud dan frame n bit berlangsung n/baud. Format 8N1 yang umum memiliki 10 bit per byte. Pembangkit baud membagi clock: baud = fclk/(16·D) dengan bilangan bulat D, sehingga baud rate sebenarnya sedikit berbeda dari targetnya; galat di bawah sekitar 2 % biasanya dapat diterima.

Pembagi

D = 20·10⁶/(16·115200) = 10,85 → 11

Baud rate sebenarnya

20·10⁶/(16·11) = 113636 Bd

Galat

(113636 − 115200)/115200·100 = −1,357 %

Jawaban

e = −1,357 %

Galat di bawah sekitar 2 % biasanya dapat diterima.

5.Rangkaian op-amp

Jawaban: Vout = 5,17 V

Aturan op-amp ideal: dengan umpan balik negatif, op-amp mengatur keluarannya sehingga kedua masukan berada pada tegangan yang sama (V₋ = V₊), dan tidak ada arus yang masuk ke masukan mana pun. Menulis KCL di masukan pembalik dengan dua fakta ini memberi keluarannya.

Tegangan di masukan

R₃ dan R₄ mengalirkan arus yang sama, jadi membentuk pembagi tegangan; umpan balik membuat V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2·4,7/(1 + 4,7) = 1,649 V
V₋ = V₊

KCL di masukan membalik

(0,9 − 1,649)/1 = (1,649 − Vout)/4,7
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (4,7/1)·(2 − 0,9) = 5,17 V

Jawaban

Vout = 5,17 V
6.Rangkaian op-amp

Jawaban: If = 1,688 mA

Aturan op-amp ideal: dengan umpan balik negatif, op-amp mengatur keluarannya sehingga kedua masukan berada pada tegangan yang sama (V₋ = V₊), dan tidak ada arus yang masuk ke masukan mana pun. Menulis KCL di masukan pembalik dengan dua fakta ini memberi keluarannya.

Arus masukan

V₋ = 0, jadi setiap resistor masukan menanggung seluruh tegangan masukannya.

I1 = V1/R1 = −1,2/100 = −0,012 mA
I2 = V2/R2 = 1,7/1 = 1,7 mA
If = I1 + I2 = 1,688 mA

Jawaban

If = 1,688 mA
7.Resistor seri & paralel

Jawaban: IR2 = 1,974 A

Resistor seri dan paralel: dalam seri, arus yang sama mengalir di setiap resistor dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam paralel, setiap resistor punya tegangan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Jaringan tangga disederhanakan satu pasang demi satu pasang hingga tersisa satu resistansi ekuivalen.

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAR4​15 ΩB

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R3 + R4 = 5 + 15 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 4·20/(4+20) = 3,333 Ω
Req = R1 + 3,333 = 3 + 3,333 = 6,333 Ω

Arus dari sumber

Sumber hanya melihat Req, jadi hukum Ohm memberi arus yang dialirkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

IR1 = V1/Req = 15/6,333 = 2,368 A

Arus melalui R₂

Kurangi jatuh tegangan pada R₁ untuk mendapat tegangan di simpul A, yaitu tegangan pada R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 2,368·3 = 7,895 V
IR2 = VA/R2 = 7,895/4 = 1,974 A

Jawaban

IR2 = 1,974 A
8.Resistor seri & paralel

Jawaban: IR1 = 1,858 A

Resistor seri dan paralel: dalam seri, arus yang sama mengalir di setiap resistor dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam paralel, setiap resistor punya tegangan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Jaringan tangga disederhanakan satu pasang demi satu pasang hingga tersisa satu resistansi ekuivalen.

R1​ = 2 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R5 + R6 = 15 + 10 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 11,11 Ω
R3 + 11,11 = 41,11 Ω
R2 ∥ 41,11 = 4,458 Ω
Req = R1 + 4,458 = 2 + 4,458 = 6,458 Ω

Arus dari sumber

Sumber hanya melihat Req, jadi hukum Ohm memberi arus yang dialirkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

IR1 = V1/Req = 12/6,458 = 1,858 A

Jawaban

IR1 = 1,858 A
9.Thévenin & Norton

Jawaban: IN = 1,538 A

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan Vth yang seri dengan resistansi Rth. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus IN = Vth/Rth yang paralel dengan Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩHUBUNG SINGKATR2​5 ΩAabRth​

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 3 = 4,875 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, tidak ada arus yang mengalir di R₃, jadi tidak ada jatuh tegangan dan V_b = V_A. R₁ dan R₂ membentuk pembagi tegangan.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(3+5) = 7,5 V
IN​1,538 ARth​4,875 Ωab

Ekuivalen Norton

Sumber Norton adalah rangkaian yang sama dilihat sebagai sumber arus paralel dengan R_th. Arusnya adalah arus hubung singkat di a–b.

IN = Vth/Rth = 7,5/4,875 = 1,538 A
10.Thévenin & Norton

Jawaban: IL = 3,519 A

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan Vth yang seri dengan resistansi Rth. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus IN = Vth/Rth yang paralel dengan Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩHUBUNG SINGKATR2​15 ΩATERBUKABabRth​

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R1 ∥ R2 = 3·15/(3+15) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 10 = 12,5 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, satu-satunya jalur Iₛ adalah melalui R₃ ke simpul A. Cari V_A dengan superposisi V₁ dan Iₛ, lalu tambahkan jatuh tegangan pada R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,167 + 6·2,5 = 19,17 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 19,17 + 6·10 = 79,17 V
Rth​ = 12,5 Ω+−Vth​79,17 VRL​10 ΩIL​

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Sumber Thévenin dan R_th seri berperilaku persis seperti rangkaian asli di a–b, jadi beban melihat loop seri sederhana.

IL = Vth/(Rth + RL) = 79,17/(12,5 + 10) = 3,519 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation