Pengukuran dan Instrumentasi: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Jembatan Wheatstone & strain gauge

Tegangan pembagi
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Haluaran
Vab = Va − Vb
Keseimbangan
R1/R2 = R3/R4
Jembatan kawat geser
R/Rx = l/(100 − l)
Resistansi Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Faktor pengukur
ΔR/R = GF·ε
Keluaran jembatan
seperempat Vs·GF·ε/4, setengah Vs·GF·ε/2, penuh Vs·GF·ε
Perubahan kecil, satu lengan
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tegangan
σ = E·ε

Metode

  1. Perlakukan jembatan sebagai dua pembagi tegangan pada catu yang sama.
  2. Untuk keseimbangan, setel R₁/R₂ = R₃/R₄ lalu selesaikan untuk resistor yang tidak diketahui.
  3. Untuk jembatan tak seimbang, cari Va dan Vb dari pembagi lalu kurangkan; gunakan ekuivalen Thévenin bila alat ukur membebani keluaran.
  4. Untuk strain gauge, ubah regangan menjadi ΔR/R = GF·ε dan gunakan Vs·GF·ε/4, /2, atau ×1 untuk jembatan seperempat, setengah, atau penuh.

Akuisisi data & sampling

Kriteria Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frekuensi alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Ukuran langkah
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Kesalahan kuantisasi (pembulatan)
±½ LSB
Kode ADC dengan pemotongan
D = ⌊Vin/LSB⌋
Jumlah bit untuk resolusi r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, sinus skala penuh
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Laju data
kanal × fs × N bit/s
ADC termultipleks
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Pembagi baud rate
baud = fclk/(16·D)

Metode

  1. Tuliskan apa yang diketahui: laju sampling, frekuensi sinyal, jumlah bit, rentang masukan, baud rate.
  2. Pada soal sampling, bandingkan setiap frekuensi dengan fs/2; frekuensi yang lebih tinggi muncul pada fa = |f − k·fs| dengan kelipatan fs terdekat.
  3. Pada soal resolusi, cari 1 LSB = VFSR/2ᴺ, atau N terkecil dengan 2ᴺ ≥ rentang/resolusi.
  4. Pada soal laju data dan tautan UART, hitung semua yang dikirim: kanal, sampel per detik, bit atau byte utuh per sampel, serta bit start, paritas, dan stop pada setiap frame.

Rangkaian op-amp

Penguat pembalik
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Penguat tak membalik
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Penguat penjumlah
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Op-amp ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistor seri & paralel

Resistor seri
Req = R1 + R2 + …
Resistor paralel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dua resistor paralel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Hukum Ohm
V = I·R
Daya
P = V·I = I²R = V²/R

Metode

  1. Mulailah dari ujung jaringan yang paling jauh dari terminal.
  2. Gabungkan resistor seri dengan menjumlahkannya, dan resistor paralel dengan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Gambar ulang rangkaian setelah setiap langkah.
  4. Ulangi sampai tersisa satu resistor di antara terminal.

Thévenin & Norton

Tegangan Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistansi Thévenin
Rth: semua sumber dimatikan, dilihat dari a–b
Arus Norton
IN = Vth/Rth
Arus beban
IL = Vth/(Rth + RL)
Transfer daya maksimum
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metode

  1. Lepaskan beban dan tandai kedua terminal a dan b.
  2. Cari tegangan rangkaian terbuka antara a dan b: inilah Vth.
  3. Matikan semua sumber independen dan cari hambatan yang terlihat dari a–b: inilah Rth.
  4. Pasang kembali beban pada rangkaian ekuivalen: Vth seri dengan Rth.
  5. Untuk ekuivalen Norton, konversikan: IN = Vth/Rth, dengan RN = Rth secara paralel.

2Soal latihan

1.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSedang
+−10 V220 Ω220 Ω + ΔR220 Ω220 Ωab+−Vab​ = ?

Sebuah jembatan memiliki empat lengan 220 Ω dan Vs = 10 V. Sensor R₂ naik sebesar ΔR = 33 Ω. Cari keluaran eksak Vab dalam mV.

Vs = 10 VR = 220 ΩΔR = 33 Ω
Vab = mV
2.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSulit
+−3 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

Sebuah jembatan dengan lengan 120 Ω dieksitasi dengan 3 V dan memiliki satu gauge aktif (jembatan seperempat). Faktor pengukurnya 2 dan regangannya 250 µε. Cari keluaran jembatan Vo dalam mV.

Vs = 3 VGF = 2ε = 250 µε
Vo = mV
3.Akuisisi data & samplingSedang
tTs​ = 1/fs​f = 34 kHzfs​ = 20 kHz

Gelombang sinus 34 kHz disampel pada 20 kHz tanpa filter anti-aliasing. Pada frekuensi berapa fa ia muncul dalam sampel? Berikan dalam kHz.

f = 34 kHzfs = 20 kHz
fa = kHz
4.Akuisisi data & samplingSulit
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​19200 Bd, 8N1

Sebuah ADC 24-bit mengalirkan setiap sampel melalui UART pada 19200 baud, format 8N1 (bit start, 8 bit data, 1 bit stop). Setiap sampel dikirim sebagai 3 byte utuh dan tautan selalu sibuk. Cari frekuensi sinyal tertinggi fmax yang dapat disampel tanpa aliasing, dalam Hz.

baud = 19200 BdN = 248N1
fmax = Hz
5.Rangkaian op-ampSedang
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩVin​R1​ = 1 kΩ

Op-amp ideal dan dicatu ±15 V; keluarannya jenuh pada ±14 V. Penguat membalik diberi masukan gelombang sinus. Cari amplitudo masukan terbesar Vin,max (nilai puncak) agar keluaran tidak terpotong.

R1 = 1 kΩRf = 4,7 kΩVsat = ±14 V
Vin,max = V
6.Rangkaian op-ampSulit
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = −0,4 VR1​ = 2 kΩV2​ = −0,3 VR2​ = 47 kΩ

Penguat penjumlah memakai op-amp ideal yang dicatu ±15 V. Cari tegangan keluaran Vout.

V1 = −0,4 VV2 = −0,3 VR1 = 2 kΩR2 = 47 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
7.Resistor seri & paralelSedang
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

Cari arus IR1 yang dialirkan sumber, yang mengalir melalui R1.

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
8.Resistor seri & paralelSulit
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

Cari arus IR1 yang dialirkan sumber, yang mengalir melalui R1.

V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩR5 = 12 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
9.Thévenin & NortonSedang
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAab

Cari resistansi Thévenin Rth dilihat dari terminal a–b.

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin & NortonSulit
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​5 VR2​10 ΩAIs​6 ABRL​12 ΩIL​

Beban RL = 12 Ω dipasang di a–b. Ganti sisa rangkaian dengan ekuivalen Thévenin-nya dan cari arus beban IL.

V1 = 5 VIs = 6 AR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 25 ΩRL = 12 Ω
IL = A

3Larutan

1.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: Vab = 348,8 mV

Jembatan Wheatstone: dua pembagi tegangan berbagi satu catu Vs. Pembagi kiri R1–R2 memberikan Va = Vs·R2/(R1 + R2) dan pembagi kanan R3–R4 memberikan Vb = Vs·R4/(R3 + R4); keluarannya adalah Vab = Va − Vb. Jembatan seimbang (Vab = 0, tidak ada arus di alat ukur) bila R1/R2 = R3/R4, yaitu R1·R4 = R2·R3. Dilihat dari keluarannya, jembatan adalah sumber Thévenin dengan Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tegangan simpul

Va = 10·253/473 = 5,349 V
Vb = 5 V

Haluaran

Vab = 348,8 mV

Jawaban

Vab = 348,8 mV

Perkiraan linear Vs·ΔR/(4R) = 375 mV terlalu tinggi 7,5 %: jembatan seperempat tidak sepenuhnya linear.

2.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: Vo = 0,375 mV

Pengukur regangan (strain gauge): sebuah pengukur mengubah resistansinya menurut regangan: ΔR/R = GF·ε, dengan faktor pengukur GF sekitar 2 untuk foil logam. Pada jembatan dengan semua lengan sama dengan R, satu pengukur aktif (jembatan seperempat) memberikan Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dua pengukur aktif dengan regangan berlawanan pada lengan yang berdekatan (setengah jembatan) memberikan Vs·GF·ε/2, dan empat (jembatan penuh) memberikan Vs·GF·ε. Tegangan mekanik mengikuti hukum Hooke, σ = E·ε. Sel beban menyatakan sensitivitasnya dalam mV/V: keluaran pada beban penuh per volt eksitasi.

Perubahan resistansi relatif

ΔR/R = 2·250·10⁻⁶ = 0,0005

Keluaran jembatan

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 3·0,0005/4 = 0,375 mV

Jawaban

Vo = 0,375 mV
3.Akuisisi data & sampling

Jawaban: fa = 6 kHz

Sampling: ADC mengukur sinyal sebanyak fs kali per detik. Menurut teorema Nyquist–Shannon, frekuensi f tertangkap dengan benar hanya selama f < fs/2, yaitu frekuensi Nyquist (pelipatan), sehingga laju sampling harus melebihi dua kali frekuensi sinyal tertinggi. Frekuensi yang lebih tinggi tidak hilang: ia muncul sebagai alias pada fa = |f − k·fs|, dengan bilangan bulat k yang membuat hasilnya berada antara 0 dan fs/2. Sampel tidak dapat membedakan keduanya, sehingga filter anti-aliasing analog harus menghilangkan semua yang di atas fs/2 sebelum ADC.

Frekuensi Nyquist

fs/2 = 10 kHz < f = 34 kHz

Kelipatan laju sampling terdekat

k = round(34/20) = 2

Frekuensi alias

fa = |34 − 2·20| = 6 kHz

Jawaban

fa = 6 kHz

Kurva putus-putus pada gambar adalah alias: kurva itu melewati sampel-sampel yang persis sama.

4.Akuisisi data & sampling

Jawaban: fmax = 320 Hz

UART: tautan serial asinkron mengirim setiap byte sebagai frame: satu bit start (rendah), bit data, satu bit paritas opsional, dan satu atau dua bit stop (tinggi). Baud rate adalah jumlah bit per detik, jadi satu bit berlangsung Tb = 1/baud dan frame n bit berlangsung n/baud. Format 8N1 yang umum memiliki 10 bit per byte. Pembangkit baud membagi clock: baud = fclk/(16·D) dengan bilangan bulat D, sehingga baud rate sebenarnya sedikit berbeda dari targetnya; galat di bawah sekitar 2 % biasanya dapat diterima.

Bit per sampel pada saluran

3·10 = 30 bit

Laju sampling tertinggi

fs,max = 19200/30 = 640 Hz

Batas Nyquist

fmax = 640/2 = 320 Hz

Jawaban

fmax = 320 Hz
5.Rangkaian op-amp

Jawaban: Vin,max = 2,979 V

Aturan op-amp ideal: dengan umpan balik negatif, op-amp mengatur keluarannya sehingga kedua masukan berada pada tegangan yang sama (V₋ = V₊), dan tidak ada arus yang masuk ke masukan mana pun. Menulis KCL di masukan pembalik dengan dua fakta ini memberi keluarannya.

Penguatan

|Av| = Rf/R1 = 4,7/1 = 4,7

Masukan terbesar sebelum terpotong

Vin,max = Vsat/|Av| = 14/4,7 = 2,979 V

Jawaban

Vin,max = 2,979 V
6.Rangkaian op-amp

Jawaban: Vout = 4,54 V

Aturan op-amp ideal: dengan umpan balik negatif, op-amp mengatur keluarannya sehingga kedua masukan berada pada tegangan yang sama (V₋ = V₊), dan tidak ada arus yang masuk ke masukan mana pun. Menulis KCL di masukan pembalik dengan dua fakta ini memberi keluarannya.

Arus masukan

V₋ = 0, jadi setiap resistor masukan menanggung seluruh tegangan masukannya.

I1 = V1/R1 = −0,4/2 = −0,2 mA
I2 = V2/R2 = −0,3/47 = −0,006383 mA
If = I1 + I2 = −0,2064 mA

Tegangan keluaran

Vout = −Rf·If = −22·(−0,2064) = 4,54 V

Jawaban

Vout = 4,54 V
7.Resistor seri & paralel

Jawaban: IR1 = 2,008 A

Resistor seri dan paralel: dalam seri, arus yang sama mengalir di setiap resistor dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam paralel, setiap resistor punya tegangan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Jaringan tangga disederhanakan satu pasang demi satu pasang hingga tersisa satu resistansi ekuivalen.

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 15·13/(15+13) = 6,964 Ω
Req = R1 + 6,964 = 2 + 6,964 = 8,964 Ω

Arus dari sumber

Sumber hanya melihat Req, jadi hukum Ohm memberi arus yang dialirkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

IR1 = V1/Req = 18/8,964 = 2,008 A

Jawaban

IR1 = 2,008 A
8.Resistor seri & paralel

Jawaban: IR1 = 2,222 A

Resistor seri dan paralel: dalam seri, arus yang sama mengalir di setiap resistor dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam paralel, setiap resistor punya tegangan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Jaringan tangga disederhanakan satu pasang demi satu pasang hingga tersisa satu resistansi ekuivalen.

R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R5 + R6 = 12 + 10 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 10,48 Ω
R3 + 10,48 = 35,48 Ω
R2 ∥ 35,48 = 7,801 Ω
Req = R1 + 7,801 = 3 + 7,801 = 10,8 Ω

Arus dari sumber

Sumber hanya melihat Req, jadi hukum Ohm memberi arus yang dialirkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

IR1 = V1/Req = 24/10,8 = 2,222 A

Jawaban

IR1 = 2,222 A
9.Thévenin & Norton

Jawaban: Rth = 3,765 Ω

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan Vth yang seri dengan resistansi Rth. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus IN = Vth/Rth yang paralel dengan Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩHUBUNG SINGKATR2​15 ΩAabRth​

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R1 ∥ R2 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 2 = 3,765 Ω
10.Thévenin & Norton

Jawaban: IL = −4,03 A

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan Vth yang seri dengan resistansi Rth. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus IN = Vth/Rth yang paralel dengan Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 25 ΩHUBUNG SINGKATR2​10 ΩATERBUKABabRth​

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R1 ∥ R2 = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 25 = 26,67 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​5 VR2​10 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, satu-satunya jalur Iₛ adalah melalui R₃ ke simpul A. Cari V_A dengan superposisi V₁ dan Iₛ, lalu tambahkan jatuh tegangan pada R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,167 + (−6)·1,667 = −5,833 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −5,833 + (−6)·25 = −155,8 V
Rth​ = 26,67 Ω−+Vth​155,8 VRL​12 ΩIL​

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Sumber Thévenin dan R_th seri berperilaku persis seperti rangkaian asli di a–b, jadi beban melihat loop seri sederhana.

IL = Vth/(Rth + RL) = −155,8/(26,67 + 12) = −4,03 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation