Pengukuran dan Instrumentasi: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Jembatan Wheatstone & strain gauge

Tegangan pembagi: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Haluaran: V_ab = V_a − V_b
Keseimbangan: R₁/R₂ = R₃/R₄
Jembatan kawat geser: R/R_x = l/(100 − l)
Resistansi Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Faktor pengukur: ΔR/R = GF·ε
Keluaran jembatan: seperempat V_s·GF·ε/4, setengah V_s·GF·ε/2, penuh V_s·GF·ε
Perubahan kecil, satu lengan: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tegangan: σ = E·ε

Metode

Perlakukan jembatan sebagai dua pembagi tegangan pada catu yang sama.
Untuk keseimbangan, setel R₁/R₂ = R₃/R₄ lalu selesaikan untuk resistor yang tidak diketahui.
Untuk jembatan tak seimbang, cari V_a dan V_b dari pembagi lalu kurangkan; gunakan ekuivalen Thévenin bila alat ukur membebani keluaran.
Untuk strain gauge, ubah regangan menjadi ΔR/R = GF·ε dan gunakan V_s·GF·ε/4, /2, atau ×1 untuk jembatan seperempat, setengah, atau penuh.

Akuisisi data & sampling

Kriteria Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frekuensi alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Ukuran langkah: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kesalahan kuantisasi (pembulatan): ±½ LSB
Kode ADC dengan pemotongan: D = ⌊V_in/LSB⌋
Jumlah bit untuk resolusi r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, sinus skala penuh: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Laju data: kanal × f_s × N bit/s
ADC termultipleks: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Pembagi baud rate: baud = f_clk/(16·D)

Metode

Tuliskan apa yang diketahui: laju sampling, frekuensi sinyal, jumlah bit, rentang masukan, baud rate.
Pada soal sampling, bandingkan setiap frekuensi dengan f_s/2; frekuensi yang lebih tinggi muncul pada f_a = |f − k·f_s| dengan kelipatan f_s terdekat.
Pada soal resolusi, cari 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, atau N terkecil dengan 2ᴺ ≥ rentang/resolusi.
Pada soal laju data dan tautan UART, hitung semua yang dikirim: kanal, sampel per detik, bit atau byte utuh per sampel, serta bit start, paritas, dan stop pada setiap frame.

Rangkaian op-amp

Penguat pembalik: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Penguat tak membalik: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Penguat penjumlah: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Op-amp ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistor seri & paralel

Resistor seri: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistor paralel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dua resistor paralel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Hukum Ohm: V = I·R
Daya: P = V·I = I²R = V²/R

Metode

Mulailah dari ujung jaringan yang paling jauh dari terminal.
Gabungkan resistor seri dengan menjumlahkannya, dan resistor paralel dengan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Gambar ulang rangkaian setelah setiap langkah.
Ulangi sampai tersisa satu resistor di antara terminal.

Thévenin & Norton

Tegangan Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistansi Thévenin: R_th: semua sumber dimatikan, dilihat dari a–b
Arus Norton: I_N = V_th/R_th
Arus beban: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Transfer daya maksimum: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metode

Lepaskan beban dan tandai kedua terminal a dan b.
Cari tegangan rangkaian terbuka antara a dan b: inilah V_th.
Matikan semua sumber independen dan cari hambatan yang terlihat dari a–b: inilah R_th.
Pasang kembali beban pada rangkaian ekuivalen: V_th seri dengan R_th.
Untuk ekuivalen Norton, konversikan: I_N = V_th/R_th, dengan R_N = R_th secara paralel.

2Soal latihan

1.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSedang

Sebuah strain gauge 300 Ω adalah satu lengan (R₂) dari jembatan dengan empat lengan sama 300 Ω dan eksitasi 2 V. Cari daya P_g yang didisipasikan pada gauge, dalam mW. Pemanasan sendiri membatasi eksitasi.

V_s = 2 VR = 300 Ω

P_g = mW

2.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSulit

Sebuah strain gauge (GF = 2) pada suatu batang dengan E = 110 GPa membentuk jembatan seperempat yang dieksitasi dengan 2,5 V. Keluarannya menunjukkan 1,5 mV. Cari tegangan mekanik aksial σ dalam MPa.

V_s = 2,5 VGF = 2V_o = 1,5 mVE = 110 GPa

σ = MPa

3.Akuisisi data & samplingSedang

Sebuah perekam melakukan sampling pada 2 kanal masing-masing pada 20 kHz dengan ADC 10-bit. Setiap sampel disimpan dalam byte utuh. Cari memori M yang diperlukan untuk rekaman 5 menit, dalam MB (1 MB = 10⁶ byte).

n = 2f_s = 20 kHzN = 10t = 5 min

M = MB

4.Akuisisi data & samplingSulit

Gelombang persegi 750 Hz disampel pada 5 kHz tanpa filter anti-aliasing. Gelombang persegi mengandung harmonik ganjil 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Pada frekuensi berapa f_a harmonik 5f₁ muncul dalam data tersampel? Berikan dalam Hz.

f₁ = 750 Hzf_s = 5 kHzharmonik: 5f₁

f_a = Hz

5.Rangkaian op-ampSedang

Op-amp ideal dan dicatu ±15 V; keluarannya jenuh pada ±12 V. Penguat tak membalik diberi masukan gelombang sinus. Cari amplitudo masukan terbesar V_in,max (nilai puncak) agar keluaran tidak terpotong.

R₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

6.Rangkaian op-ampSulit

Integrator memakai op-amp ideal dengan catu ±15 V; keluarannya jenuh pada ±13 V. Kapasitor tidak bermuatan ketika masukan konstan V_in = 2,4 V diberikan pada t = 0. Cari tegangan keluaran V_out pada t = 200 ms.

V_in = 2,4 VR = 100 kΩC = 1 µFV_sat = ±13 Vt = 200 ms

V_out = V

7.Resistor seri & paralelSedang

Cari arus I_R2 melalui R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

8.Resistor seri & paralelSulit

Cari arus I_R2 melalui R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin & NortonSedang

Cari resistansi Thévenin R_th dilihat dari terminal a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin & NortonSulit

Beban R_L = 12 Ω dipasang di a–b. Gunakan ekuivalen Thévenin untuk mencari daya P_L yang diserap beban.

V₁ = 9 VI_s = 4 AR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 12 Ω

P_L = W

3Larutan

1.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: P_g = 3,333 mW

Jembatan Wheatstone: dua pembagi tegangan berbagi satu catu V_s. Pembagi kiri R₁–R₂ memberikan V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) dan pembagi kanan R₃–R₄ memberikan V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); keluarannya adalah V_ab = V_a − V_b. Jembatan seimbang (V_ab = 0, tidak ada arus di alat ukur) bila R₁/R₂ = R₃/R₄, yaitu R₁·R₄ = R₂·R₃. Dilihat dari keluarannya, jembatan adalah sumber Thévenin dengan R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tegangan pada gauge

V = 2/2 = 1 V

Daya

P_g = 1²/300 = 3,333 mW

Jawaban

P_g = 3,333 mW

2.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: σ = 132 MPa

Pengukur regangan (strain gauge): sebuah pengukur mengubah resistansinya menurut regangan: ΔR/R = GF·ε, dengan faktor pengukur GF sekitar 2 untuk foil logam. Pada jembatan dengan semua lengan sama dengan R, satu pengukur aktif (jembatan seperempat) memberikan V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dua pengukur aktif dengan regangan berlawanan pada lengan yang berdekatan (setengah jembatan) memberikan V_s·GF·ε/2, dan empat (jembatan penuh) memberikan V_s·GF·ε. Tegangan mekanik mengikuti hukum Hooke, σ = E·ε. Sel beban menyatakan sensitivitasnya dalam mV/V: keluaran pada beban penuh per volt eksitasi.

Regangan

ε = 4·0,0015/(2,5·2) = 0,0012

Tegangan

σ = 110·10³ MPa·0,0012 = 132 MPa

Jawaban

σ = 132 MPa

3.Akuisisi data & sampling

Jawaban: M = 24 MB

Laju data: setiap kanal menghasilkan f_s sampel per detik dengan N bit, sehingga laju mentahnya adalah kanal × f_s × N bit/s. Di memori, satu sampel memakai byte utuh (sampel 12-bit disimpan dalam 2 byte), sehingga memori untuk suatu rekaman adalah kanal × f_s × byte per sampel × waktu. ADC termultipleks mengonversi kanal satu demi satu: setiap konversi (termasuk waktu penetapan) memerlukan t, sehingga satu putaran n kanal memerlukan n·t dan setiap kanal disampel pada 1/(n·t).

Byte per sampel

⌈10/8⌉ = 2 B

Laju byte

2·20000·2 = 80000 B/s

Memori

M = 80000·300 = 2,4 × 10⁷ B = 24 MB

Jawaban

M = 24 MB

4.Akuisisi data & sampling

Jawaban: f_a = 1250 Hz

Sampling: ADC mengukur sinyal sebanyak f_s kali per detik. Menurut teorema Nyquist–Shannon, frekuensi f tertangkap dengan benar hanya selama f < f_s/2, yaitu frekuensi Nyquist (pelipatan), sehingga laju sampling harus melebihi dua kali frekuensi sinyal tertinggi. Frekuensi yang lebih tinggi tidak hilang: ia muncul sebagai alias pada f_a = |f − k·f_s|, dengan bilangan bulat k yang membuat hasilnya berada antara 0 dan f_s/2. Sampel tidak dapat membedakan keduanya, sehingga filter anti-aliasing analog harus menghilangkan semua yang di atas f_s/2 sebelum ADC.

Frekuensi harmonik

5f₁ = 5·750 Hz = 3,75 kHz

Kelipatan laju sampling terdekat

m = round(0,75) = 1

Frekuensi alias

f_a = |3750 − 1·5000| = 1250 Hz

Jawaban

f_a = 1250 Hz

Alias jatuh di dalam pita sinyal, tempat tidak ada filter digital yang dapat menghilangkannya. Hanya filter analog sebelum ADC yang membantu.

5.Rangkaian op-amp

Jawaban: V_in,max = 3,826 V

Aturan op-amp ideal: dengan umpan balik negatif, op-amp mengatur keluarannya sehingga kedua masukan berada pada tegangan yang sama (V₋ = V₊), dan tidak ada arus yang masuk ke masukan mana pun. Menulis KCL di masukan pembalik dengan dua fakta ini memberi keluarannya.

Penguatan

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 47/22 = 3,136

Masukan terbesar sebelum terpotong

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/3,136 = 3,826 V

Jawaban

V_in,max = 3,826 V

6.Rangkaian op-amp

Jawaban: V_out = −4,8 V

Arus masukan dan laju kenaikan

kΩ dikali µF menghasilkan milidetik.

RC = 100 kΩ · 1 µF = 100 ms

laju kenaikan = −V_in/(RC) = −2,4/100 = −0,024 V/ms

Keluaran pada waktu yang diberikan

Nilai ideal berada di dalam ±V_sat, jadi integrator belum terpotong.

V_out = −V_in·t/(RC) = −2,4·200/100 = −4,8 V

Jawaban

V_out = −4,8 V

7.Resistor seri & paralel

Jawaban: I_R2 = 1,532 A

Resistor seri dan paralel: dalam seri, arus yang sama mengalir di setiap resistor dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam paralel, setiap resistor punya tegangan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Jaringan tangga disederhanakan satu pasang demi satu pasang hingga tersisa satu resistansi ekuivalen.

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R₃ + R₄ = 20 + 20 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 6·40/(6+40) = 5,217 Ω

R_eq = R₁ + 5,217 = 5 + 5,217 = 10,22 Ω

Arus dari sumber

Sumber hanya melihat R_eq, jadi hukum Ohm memberi arus yang dialirkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/10,22 = 1,762 A

Arus melalui R₂

Kurangi jatuh tegangan pada R₁ untuk mendapat tegangan di simpul A, yaitu tegangan pada R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,762·5 = 9,191 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,191/6 = 1,532 A

Jawaban

I_R2 = 1,532 A

8.Resistor seri & paralel

Jawaban: I_R2 = 0,4901 A

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 1,875 Ω

R₃ + 1,875 = 21,88 Ω

R₂ ∥ 21,88 = 12,65 Ω

R_eq = R₁ + 12,65 = 8 + 12,65 = 20,65 Ω

Arus dari sumber

Sumber hanya melihat R_eq, jadi hukum Ohm memberi arus yang dialirkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/20,65 = 1,162 A

Arus melalui R₂

Kurangi jatuh tegangan pada R₁ untuk mendapat tegangan di simpul A, yaitu tegangan pada R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,162·8 = 14,7 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14,7/30 = 0,4901 A

Jawaban

I_R2 = 0,4901 A

9.Thévenin & Norton

Jawaban: R_th = 10 Ω

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan V_th yang seri dengan resistansi R_th. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus I_N = V_th/R_th yang paralel dengan R_th.

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 6 = 10 Ω

10.Thévenin & Norton

Jawaban: P_L = 92,91 W

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 25·4/(25+4) = 3,448 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,448 + 25 = 28,45 Ω

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, satu-satunya jalur Iₛ adalah melalui R₃ ke simpul A. Cari V_A dengan superposisi V₁ dan Iₛ, lalu tambahkan jatuh tegangan pada R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,241 + (−4)·3,448 = −12,55 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −12,55 + (−4)·25 = −112,6 V

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Sumber Thévenin dan R_th seri berperilaku persis seperti rangkaian asli di a–b, jadi beban melihat loop seri sederhana.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −112,6/(28,45 + 12) = −2,783 A

P_L = I_L²·R_L = −2,783²·12 = 92,91 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Pengukuran dan Instrumentasi: paket kilat

1Rumus dan metode

Jembatan Wheatstone & strain gauge

Metode

Akuisisi data & sampling

Metode

Rangkaian op-amp

Resistor seri & paralel

Metode

Thévenin & Norton

Metode

2Soal latihan

3Larutan

Tegangan pada gauge

Daya

Jawaban

Regangan

Tegangan

Jawaban

Byte per sampel

Laju byte

Memori

Jawaban

Frekuensi harmonik

Kelipatan laju sampling terdekat

Frekuensi alias

Jawaban

Penguatan

Masukan terbesar sebelum terpotong

Jawaban

Arus masukan dan laju kenaikan

Keluaran pada waktu yang diberikan

Jawaban

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Arus dari sumber

Arus melalui R₂

Jawaban

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Arus dari sumber

Arus melalui R₂

Jawaban

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka