Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
250 kNØ25100 GPaØ80/60500 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12600 mm500 mmØ40Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 500 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 500 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 500 N·mdi/do = 0,75τallow = 50 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 60 mm, di​ = 36 mm

Poros berongga meneruskan 30 kW pada 1450 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 30 kWN = 1450 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 45 kN·mAB6 m4 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 45 kN·m di x = 6 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mM0 = 45 kN·m searah jarum jam, di 6 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mP = 30 kNABpotongan5 m5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 30 kN di 5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
100 mm240 mm84 mmØ60xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 84 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
140270182101614xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 140 × 18 mm, badan setinggi 210 mm dan setebal 14 mm, dan sayap bawah 270 × 16 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 140 × 18 mmbadan: 14 × 210 mmsayap bawah: 270 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 120σy​ = −40MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 120 MPa dan σᵧ = −40 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 135 MPa?

σx = 120 MPaσy = −40 MPaσ1 = 135 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 100σy​ = 120τxy​ = 20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 100 MPaσy = 120 MPaτxy = 20 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 20 kNABδ1 m3 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 20 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 20 kN/mP = 22 kNδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 22 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m40 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 80 kNL = 1,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,393 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·2199 = 3,181 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·500/3,181 × 10⁸ = 0,393 mm

Jawaban

δ = 0,393 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 21,14 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·622035/1,041 × 10⁶ = 59759 N

Tegangan

σ2 = 59759/2827 = 21,14 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 21,14 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: do = 42,08 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0,6836)) = 42,08 mm
di = 0,75·42,08 = 31,56 mm

Jawaban

do = 42,08 mm

Poros pejal memerlukan d = 37,07 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 5,352 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 197572·30/1,107 × 10⁶ = 5,352 MPa

Jawaban

τmax = 5,352 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 18 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/10 = 4,5 kN (ke atas)
RA = −RB = −4,5 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat RA dan kopel.

Mx = RA·a + M0 = −4,5·6 + 45 = 18 kN·m

Jawaban

Mx = 18 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 150 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·5 + 6·10·5
RB = 450/10 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 45 = 45 kN
w = 6 kN/mP = 30 kNABRA​ = 45RB​ = 45potongan5 m5 m

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 45·5 − 6·5·2,5 = 150 kN·m

Jawaban

Mx = 150 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 110,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·120 − 2827·84)/(24000 − 2827) = 124,8 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·240³/12 + 24000·−4,808² = 115,8 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−40,81² = 5,345 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 110,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 110,4 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 94,75 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2520 mm², y = 235 mm
badan: A = 2940 mm², y = 121 mm
sayap bawah: A = 4320 mm², y = 8 mm

Titik berat

ȳ = (2520·235 + 2940·121 + 4320·8)/9780 = 100,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 140·18³/12 + 2520·134,5² = 4,568 × 10⁷ mm⁴
badan: 14·210³/12 + 2940·20,54² = 1,204 × 10⁷ mm⁴
sayap bawah: 270·16³/12 + 4320·92,46² = 3,702 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,568 × 10⁷ + 1,204 × 10⁷ + 3,702 × 10⁷
Ix = 9,475 × 10⁷ mm⁴ = 94,75 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 94,75 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 51,23 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (120 + (−40))/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 135 − 40 = 95 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 80²) = 51,23 MPa

Jawaban

τxy = 51,23 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 130 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 110 + −10·0 + 20·1 = 130 MPa

Jawaban

σθ = 130 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 37,88 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1000²·3000²/(3·3,96 × 10¹¹·4000) = 37,88 mm

Jawaban

δP = 37,88 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 2,948 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 22000·2500³/(48·5,88 × 10¹²) = 1,218 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,73 mm

Jumlahkan

δmax = 1,218 + 1,73 = 2,948 mm

Jawaban

δmax = 2,948 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 15,04 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/3500² = 15039 N = 15,04 kN

Jawaban

Pcr = 15,04 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 57,08 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 57,08 mm

Jawaban

d = 57,08 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 105,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials