Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmKuningan1,5 mP = 85 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmKuningan0,5 mØ 16 mmKuningan1 mP = 55 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 55 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
do​ = 60, di​ = 45 mmT = 200 N·mL = 2 m

Poros kuningan berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 45 mm, panjang 2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 200 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 200 N·mdo = 60 mmdi = 45 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
do​ = ?30 kW, 1800 rpm

Poros berongga harus meneruskan 30 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 30 kWN = 1800 rpmdi/do = 0,75τallow = 80 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 80 kNP2​ = 30 kNABC1,5 m2,5 m1,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5,5 mP1 = 80 kN di 1,5 mP2 = 30 kN di 5,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 4 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 5 kN/mABC6 m2,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur MB di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 8,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
MB = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
150 mm150 mm60 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
170230141501012xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 170 × 14 mm, badan setinggi 150 mm dan setebal 12 mm, dan sayap bawah 230 × 10 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 170 × 14 mmbadan: 12 × 150 mmsayap bawah: 230 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 30σy​ = 80τxy​ = −50MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = 30 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPa
θs = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −50σy​ = −80τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = −50 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 2 kN/mP = 17 kNABδ2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 17 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 11 kNABδ3 m2 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 2 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 11 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 md = 20 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 20 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2706 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/100000 = 0,002706 = 2706 µε

Jawaban

ε = 2706 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 273,5 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 112 MPa
σ2 = 273,5 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 273,5 MPa

Jawaban

σmax = 273,5 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,6756 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Sudut puntir

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·2000/(39000·869767) = 0,01179 rad
φ = 0,01179·180/π = 0,6756°

Jawaban

φ = 0,6756°
4.Torsi poros

Jawaban: do = 24,56 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·80·0,6836)) = 24,56 mm
di = 0,75·24,56 = 18,42 mm

Jawaban

do = 24,56 mm

Poros pejal memerlukan d = 21,64 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 58,13 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·4 = 80·1,5 + 30·5,5
RB = 285/4 = 71,25 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 71,25 = 38,75 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·1,5 = 38,75·1,5 = 58,13 kN·m

Jawaban

Mx = 58,13 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MB = −15,63 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·8,5 = 42,5 kN, bekerja di x̄ = 4,25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·8,5·4,25
RB = 180,6/6 = 30,1 kN
ΣFy = 0: RA = 42,5 − 30,1 = 12,4 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Beban pada overstek, w·a, bekerja di a/2 dari B dan menimbulkan momen negatif di atas tumpuan.

MB = −w·a²/2 = −5·2,5²/2 = −15,63 kN·m

Jawaban

MB = −15,63 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 41,98 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (22500·75 − 706,9·60)/(22500 − 706,9) = 75,49 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·150³/12 + 22500·−0,4865² = 42,19 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−15,49² = 0,2093 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 41,98 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 41,98 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 34,14 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2380 mm², y = 167 mm
badan: A = 1800 mm², y = 85 mm
sayap bawah: A = 2300 mm², y = 5 mm

Titik berat

ȳ = (2380·167 + 1800·85 + 2300·5)/6480 = 86,72 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 170·14³/12 + 2380·80,28² = 1,538 × 10⁷ mm⁴
badan: 12·150³/12 + 1800·1,722² = 3,38 × 10⁶ mm⁴
sayap bawah: 230·10³/12 + 2300·81,72² = 1,538 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,538 × 10⁷ + 3,38 × 10⁶ + 1,538 × 10⁷
Ix = 3,414 × 10⁷ mm⁴ = 34,14 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 34,14 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = 76,72 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = −50/55,9 = −0,8944, sin 2θs = −(−25)/55,9 = 0,4472
2θs = atan2(25, −50) = 153,4°

Sudut pada elemen

θs = 76,72°
periksa: θs − θp = 76,72 − (−58,28) = 135°

Jawaban

θs = 76,72°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 87,18 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = −65 MPa, R = 33,54 MPa
σ1 = −31,46 MPa, σ2 = −98,54 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √((−31,46)² − (−31,46)·(−98,54) + (−98,54)²) = 87,18 MPa

Jawaban

σvM = 87,18 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 2,937 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 17000·2000³/(3·1,68 × 10¹³) = 2,698 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 0,2381 mm

Jumlahkan

δ = 2,698 + 0,2381 = 2,937 mm

Jawaban

δ = 2,937 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 15,43 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 11000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 15,43 mm

Jawaban

δmax = 15,43 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 2,481 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Jawaban

Pcr = 2,481 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 12,34 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/5 = 400

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Jawaban

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials