Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmAluminium2 mP = 110 kN

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 110 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø20100 GPaØ120/50400 mm

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 70 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 400 N·mL = 3 m

Poros aluminium pejal sepanjang 3 m menahan torsi 400 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 400 N·mL = 3 mG = 26 GPaφallow = 1,5°
d = mm
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 10 kW pada 750 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 10 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 12 kN/mP = 45 kNAB1,5 m2,5 m

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1,5 m dari A. Cari momen lentur MA di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 45 kN di 1,5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 4 m
MA = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mP = 75 kNAB4 m2 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mP = 75 kN di 4 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 6 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
xD = 190d = 158dimensi dalam mm

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 190 mm dan diameter dalam d = 158 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 190 mmd = 158 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
180152008xM = 40 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.

bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 200 mmM = 40 kN·m
σbawah = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σy​ = −10τxy​ = −60MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 0 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Elemen diputar 35° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 0 MPaσy = −10 MPaτxy = −60 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 140σy​ = 20τxy​ = −50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 140 MPaσy = 20 MPaτxy = −50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 20 kNABδ1 m1,5 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1 m dari A. Cari lendutan δB di ujung bebas B.

P = 20 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m50 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,446 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 110·1000/706,9 = 155,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 155,6/70000 = 0,002223 = 2223 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002223·2000 mm = 4,446 mm

Jawaban

δ = 4,446 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 598,5 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·9346 = 9,975 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0007) = 0,0006 (baja)

Beban terbesar

Pmax = 0,0006·9,975 × 10⁸ = 598473 N = 598,5 kN

Jawaban

Pmax = 598,5 kN
3.Torsi poros

Jawaban: d = 65,1 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·3000/(26000·0,02618) = 1,763 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 65,1 mm

Jawaban

d = 65,1 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 22,11 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm

Jawaban

d = 22,11 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MA = −163,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −45·1,5 = −67,5 kN·m
w: −12·4²/2 = −96 kN·m
MA = −67,5 − 96 = −163,5 kN·m

Jawaban

MA = −163,5 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 148 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 75·4 + 12·6·3
RB = 516/6 = 86 kN
ΣFy = 0: RA = 147 − 86 = 61 kN

Di mana V = 0?

V(4⁻) = RA − w·4 = 13 kN
V(4⁺) = 13 − 75 = −62 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 61·4 − 12·4²/2 = 148 kN·m

Jawaban

Mmax = 148 kN·m

Terjadi di x = 4 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 61,78 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 8746 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,338 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(3,338 × 10⁷/8746) = 61,78 mm

Jawaban

r = 61,78 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σbawah = 394,3 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 180·15 = 2700 mm², yf = 200 + 15/2 = 207,5 mm
badan: Aw = 8·200 = 1600 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2700·207,5 + 1600·100)/4300 = 167,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·15³/12 + 2700·(207,5 − 167,5)² = 4,371 × 10⁶ mm⁴
badan: 8·200³/12 + 1600·(100 − 167,5)² = 1,262 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,371 × 10⁶ + 1,262 × 10⁷ = 1,699 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 167,5 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·167,5/1,699 × 10⁷ = 394,3 MPa

Jawaban

σbawah = 394,3 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 49,67 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = −5 − 5·0,342 − (−60)·0,9397 = 49,67 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = −59,67 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 49,67 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 66,7 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 80 + 60·0,5 + −50·0,866 = 66,7 MPa

Jawaban

σθ = 66,7 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δB = 54,71 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δP = Pa³/(3EI) = 16,84 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,02525 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 54,71 mm

Jawaban

δB = 54,71 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 66,58 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·11000·6,944) = 6,658 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 66,58 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 66,58 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 466,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2100² = 466251 N = 466,3 kN

Jawaban

Pcr = 466,3 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 19,83 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7,5 = 186,7

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186,7² = 19,83 MPa

Jawaban

σcr = 19,83 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials