Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmTembaga2,5 mP = 105 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 105 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmAluminium1 mØ 12 mmAluminium2 mP = 65 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 65 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = 40, di​ = 30 mmT = 250 N·mL = 1,2 m

Poros kuningan berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 1,2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 250 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 250 N·mdo = 40 mmdi = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
60 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 3 m50 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 16 kN/mAB1 m4 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 5 mw = 16 kN/m dari 1 sampai 5 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
xD = 150d = 118dimensi dalam mm

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 150 mm dan diameter dalam d = 118 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 150 mmd = 118 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1201518016xM = 20 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 20 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 180 mmM = 20 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σy​ = −20τxy​ = −30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 0 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = 0 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 140σy​ = −40τxy​ = 50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 25° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 140 MPaσy = −40 MPaτxy = 50 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 8 kN/mδL = 3 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mAB3 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 3 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 80 kNL = 2,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 11,16 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/117000 = 0,004463 = 4463 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,004463·2500 mm = 11,16 mm

Jawaban

δ = 11,16 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 17,16 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 51,73 MPa
σ2 = 574,7 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 51,73·1000/70000 = 0,7389 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 574,7·2000/70000 = 16,42 mm
δ = δ1 + δ2 = 17,16 mm

Jawaban

δ = 17,16 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,565 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Sudut puntir

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·1200/(39000·171806) = 0,04477 rad
φ = 0,04477·180/π = 2,565°

Jawaban

φ = 2,565°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 35,72 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·716197/(π·80)) = 35,72 mm

Jawaban

d = 35,72 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 71,67 kN, R2 = 38,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 71,67, MC = 93,33, MD = 115 kN·m, ME = 76,67, MF = 38,33, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 115 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 46,08 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 16·4·3
RB = 192/5 = 38,4 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 38,4 = 25,6 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 25,6/16 = 2,6 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 25,6·2,6 − 16·1,6²/2 = 46,08 kN·m

Jawaban

Mmax = 46,08 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 47,71 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 6736 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,533 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(1,533 × 10⁷/6736) = 47,71 mm

Jawaban

r = 47,71 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 73,61 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 180 + 15/2 = 187,5 mm
badan: Aw = 16·180 = 2880 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·187,5 + 2880·90)/4680 = 127,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·15³/12 + 1800·(187,5 − 127,5)² = 6,514 × 10⁶ mm⁴
badan: 16·180³/12 + 2880·(90 − 127,5)² = 1,183 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,514 × 10⁶ + 1,183 × 10⁷ = 1,834 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 195 − 127,5 = 67,5 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·67,5/1,834 × 10⁷ = 73,61 MPa

Jawaban

σatas = 73,61 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = −80,78 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = −30/31,62 = −0,9487, sin 2θs = −10/31,62 = −0,3162
2θs = atan2(−10, −30) = −161,6°

Sudut pada elemen

θs = −80,78°
periksa: θs − θp = −80,78 − (−35,78) = −45°

Jawaban

θs = −80,78°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 146,2 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 50 + 90·0,6428 + 50·0,766 = 146,2 MPa

Jawaban

σθ = 146,2 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 33,75 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 33,75 mm

Jawaban

δ = 33,75 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 16,88 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16,88 kN

Jawaban

RB = 16,88 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 158,8 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158,8 kN

Jawaban

Pcr = 158,8 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 40,08 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 40,08 mm

Jawaban

d = 40,08 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 124,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials