Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmBaja1 mP = 30 kN

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 30 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmBaja0,5 mØ 12 mmKuningan1,5 mP = 115 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 115 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 750 N·mL = 2 m

Poros kuningan pejal sepanjang 2 m menahan torsi 750 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 750 N·mL = 2 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Torsi porosSulit
d = ?20 kW, 300 rpm

Poros kuningan pejal meneruskan 20 kW pada 300 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 20 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0,75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
4 kN/m15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mP = 20 kNABpotongan6 m4 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 6 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 20 kN di 6 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 6 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
B = 100H = 225t = 8xdimensi dalam mm

Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 100 mm, tinggi luar H = 225 mm, dan tebal dinding seragam t = 8 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

B = 100 mmH = 225 mmt = 8 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2802520010xM = 30 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 200 mmM = 30 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 120σy​ = −10τxy​ = −50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 120 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 20σy​ = 30τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 20 MPaσy = 30 MPaτxy = 10 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mδL = 4 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 6 kN/mAB4 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 4 mw = 6 kN/m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m25 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 20 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,4775 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/200000 = 0,0004775 = 477,5 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0004775·1000 mm = 0,4775 mm

Jawaban

δ = 0,4775 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 15,66 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 162,7 MPa
σ2 = 1017 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 162,7·500/200000 = 0,4067 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 1017·1500/100000 = 15,25 mm
δ = δ1 + δ2 = 15,66 mm

Jawaban

δ = 15,66 mm
3.Torsi poros

Jawaban: d = 68,83 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·2000/(39000·0,01745) = 2,204 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 68,83 mm

Jawaban

d = 68,83 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 59,7 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·636620/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 59,7 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(35,1, 59,7) = 59,7 mm

Jawaban

d = 59,7 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 31,5 kN, R2 = 31,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 55, MC = 94, MD = 117 kN·m, ME = 94, MF = 55, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 117 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 84 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·6 + 3·10·5
RB = 270/10 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 27 = 23 kN
w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​ = 23RB​ = 27potongan6 m4 m

Potong di x = 6 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 23·6 − 3·6·3 = 84 kN·m

Jawaban

Mx = 84 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 79,21 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

b = 84 mm, h = 209 mm
A = BH − bh = 100·225 − 84·209 = 4944 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 3,102 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(3,102 × 10⁷/4944) = 79,21 mm

Jawaban

r = 79,21 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 42,11 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 200 + 25/2 = 212,5 mm
badan: Aw = 10·200 = 2000 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·212,5 + 2000·100)/9000 = 187,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·25³/12 + 7000·(212,5 − 187,5)² = 4,74 × 10⁶ mm⁴
badan: 10·200³/12 + 2000·(100 − 187,5)² = 2,198 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,74 × 10⁶ + 2,198 × 10⁷ = 2,672 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 225 − 187,5 = 37,5 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·37,5/2,672 × 10⁷ = 42,11 MPa

Jawaban

σatas = 42,11 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 82,01 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((120 − −10)/2)² + −50²) = 82,01 MPa

Jawaban

τmax = 82,01 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 35 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 25 + −5·0 + 10·1 = 35 MPa

Jawaban

σθ = 35 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 44,44 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 10·4000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 44,44 mm

Jawaban

δ = 44,44 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 9 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

Jawaban

RB = 9 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 11,51 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2500² = 11515 N = 11,51 kN

Jawaban

Pcr = 11,51 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 25,18 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/5 = 280

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Jawaban

σcr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials