Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 35 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 2 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 1 m. Torsi 200 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2 md₂ = 40 mm, L₂ = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 30 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1500 N·m diberikan di C, 2,5 m dari A dan 1,2 m dari B. Cari torsi reaksi T_A di dinding A.

d = 30 mmT₀ = 1500 N·ma = 2,5 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 30 kN di 1 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 120 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 190 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 120 mmh = 190 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 15 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 40° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1066 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/70000 = 0,001066 = 1066 µε

Jawaban

ε = 1066 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,028 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 111,4 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 49,51·500/200000 = 0,1238 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 111,4·2000/117000 = 1,904 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,028 mm

Jawaban

δ = 2,028 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 1,358 °

Momen inersia polar

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·2000/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,003302 rad

φ_BC = 200000·1000/(39000·251327) = 0,0204 rad

Puntiran total

φ_C = 0,003302 + 0,0204 = 0,02371 rad = 1,358°

Jawaban

φ_C = 1,358°

4.Torsi poros

Jawaban: T_A = 486,5 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·1,2/3,7 = 486,5 N·m

T_B = 1500·2,5/3,7 = 1014 N·m

Jawaban

T_A = 486,5 N·m

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 28 kN, R₂ = 38 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 44, M_D = 57, M_E = 64 kN·m, M_F = 35, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = 64 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 36 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·1 + 2·10·5

R_B = 130/10 = 13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 13 = 37 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 37·1 − 2·1·0,5 = 36 kN·m

Jawaban

M_x = 36 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 14,56 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 120·8 = 960 mm², y₁ = 4 mm

dua kaki: A₂ = 2·8·182 = 2912 mm², y₂ = 8 + 182/2 = 99 mm

Titik berat

ȳ = (960·4 + 2912·99)/3872 = 75,45 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 120·8³/12 + 960·(4 − 75,45)² = 4,906 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·8·182³/12 + 2912·(99 − 75,45)² = 9,654 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,906 × 10⁶ + 9,654 × 10⁶

I_x = 1,456 × 10⁷ mm⁴ = 14,56 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 14,56 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 264,3 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

badan: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·115 + 1200·50)/9600 = 106,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·30³/12 + 8400·(115 − 106,9)² = 1,185 × 10⁶ mm⁴

badan: 12·100³/12 + 1200·(50 − 106,9)² = 4,882 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,185 × 10⁶ + 4,882 × 10⁶ = 6,066 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 106,9 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·106,9/6,066 × 10⁶ = 264,3 MPa

Jawaban

σ_bawah = 264,3 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = −13,02 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 20 − 20·0,1736 − 30·0,9848 = −13,02 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 53,02 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = −13,02 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −19,22 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −5 + 15·0,766 + 40·−0,6428 = −19,22 MPa

Jawaban

σ_θ = −19,22 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 4,545 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 4,545 mm

Jawaban

δ = 4,545 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 86,79 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·6000⁴/(384·70000·16,67) = 8,679 × 10⁷ mm⁴

I_req = 86,79 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 86,79 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 6,141 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/6000² = 6141 N = 6,141 kN

Jawaban

P_cr = 6,141 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 17,27 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials