Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmKuningan3 mP = 85 kN

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 85 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmAluminium1,5 mØ 16 mmTembaga1 mP = 115 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 115 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 50 mmL = 2,5 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 10 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 10 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 60 kNP2​ = 65 kNABC1 m3 m2 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP1 = 60 kN di 1 mP2 = 65 kN di 6 mtumpuan di x = 0 dan x = 4 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
8 kN/m25 kN35 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

25 kN @ 0 m35 kN @ 6 m30 kN @ 2 m8 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
B = 260H = 375t = 18xdimensi dalam mm

Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 260 mm, tinggi luar H = 375 mm, dan tebal dinding seragam t = 18 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

B = 260 mmH = 375 mmt = 18 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1401530010xM = 5 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 5 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.

bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 300 mmM = 5 kN·m
σbawah = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −30σy​ = −40τxy​ = 60MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Elemen diputar 50° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = −30 MPaσy = −40 MPaτxy = 60 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −50σy​ = −30τxy​ = −10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −50 MPaσy = −30 MPaτxy = −10 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mABθ6 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m50 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 25 kNL = 1 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 25 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 8,117 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/100000 = 0,002706 = 2706 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002706·3000 mm = 8,117 mm

Jawaban

δ = 8,117 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 572 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 119,5 MPa
σ2 = 572 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 572 MPa

Jawaban

σmax = 572 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,245 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(26000·613592) = 0,03918 rad
φ = 0,03918·180/π = 2,245°

Jawaban

φ = 2,245°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 13,93 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·60)) = 13,93 mm

Jawaban

d = 13,93 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 12,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·4 = 60·1 + 65·6
RB = 450/4 = 112,5 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 112,5 = 12,5 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·1 = 12,5·1 = 12,5 kN·m

Jawaban

Mx = 12,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 61 kN, R2 = 61 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −25, MC = 7, MD = 1, ME = −13, MF = −35 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −35 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 138,8 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

b = 224 mm, h = 339 mm
A = BH − bh = 260·375 − 224·339 = 21564 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 4,154 × 10⁸ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(4,154 × 10⁸/21564) = 138,8 mm

Jawaban

r = 138,8 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σbawah = 20,2 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 140·15 = 2100 mm², yf = 300 + 15/2 = 307,5 mm
badan: Aw = 10·300 = 3000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2100·307,5 + 3000·150)/5100 = 214,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·15³/12 + 2100·(307,5 − 214,9)² = 1,806 × 10⁷ mm⁴
badan: 10·300³/12 + 3000·(150 − 214,9)² = 3,512 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,806 × 10⁷ + 3,512 × 10⁷ = 5,318 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 214,9 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·214,9/5,318 × 10⁷ = 20,2 MPa

Jawaban

σbawah = 20,2 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = −93,22 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = −35 − 5·(−0,1736) − 60·0,9848 = −93,22 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 23,22 MPa, σx′ + σy′ = −70 = σx + σy

Jawaban

σy′ = −93,22 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = 3,66 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−10·0,866 + −10·0,5 = 3,66 MPa

Jawaban

τθ = 3,66 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,0125 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 6000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 10·6000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,0125 rad

Jawaban

θA = 0,0125 rad

Itu sama dengan 0,7162°.

12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 40,5 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·6000⁴/(384·200000·16,67) = 4,05 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 40,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 40,5 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 26,99 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/4000² = 26987 N = 26,99 kN

Jawaban

Pcr = 26,99 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 29,66 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 29,66 mm

Jawaban

d = 29,66 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 134,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials