Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
150 kNØ20110 GPaØ80/60400 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmTembaga0,5 mØ 16 mmKuningan1,5 mP = 35 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 35 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 1000 N·mL = 1 m

Poros baja pejal sepanjang 1 m menahan torsi 1000 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 1000 N·mL = 1 mG = 80 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Torsi porosSulit
do​ = ?5 kW, 1500 rpm

Poros berongga harus meneruskan 5 kW pada 1500 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 5 kWN = 1500 rpmdi/do = 0,75τallow = 40 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
5 kN/m25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

25 kN @ 8 m5 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
6 kN/m60 kN10 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 0 m10 kN @ 6 m30 kN @ 3 m6 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1403202412xdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 140 mm dan setebal 24 mm, tinggi total 320 mm, dan badan setebal 12 mm. Cari modulus penampang elastisnya Sx untuk lentur terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 140 mmH = 320 mmtf = 24 mmtw = 12 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1001530016xM = 10 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 10 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 10 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 150σy​ = −70τxy​ = −60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 150 MPaσy = −70 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −20σy​ = 40τxy​ = −60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = −20 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 11 kNABδ1 m3 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1 m dari A. Cari lendutan δB di ujung bebas B.

P = 11 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 45 kNAB4 m4 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 8 mP = 45 kN di 4 m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 140 kNL = 3 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 140 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1969 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·400/3,047 × 10⁸ = 0,1969 mm

Jawaban

δ = 0,1969 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,73 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 27,85 MPa
σ2 = 174,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 27,85·500/117000 = 0,119 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 174,1·1500/100000 = 2,611 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,73 mm

Jawaban

δ = 2,73 mm
3.Torsi poros

Jawaban: d = 61,8 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(80000·0,008727) = 1,432 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 61,8 mm

Jawaban

d = 61,8 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: do = 18,1 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·40·0,6836)) = 18,1 mm
di = 0,75·18,1 = 13,57 mm

Jawaban

do = 18,1 mm

Poros pejal memerlukan d = 15,94 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 21,67 kN, R2 = 43,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 43,33, MC = 86,67, MD = 120, ME = 133,3 kN·m, MF = 76,67, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 133,3 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 99,5 kN, R2 = 24,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −23,5, MD = 7, ME = 1,5, MF = −10, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = −60 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Sx = 1048 × 10³ mm³

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 320 − 2·24 = 272 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·320³ − 128·272³)/12
Ix = 1,676 × 10⁸ mm⁴

Modulus penampang

c = H/2 = 160 mm
Sx = I/c = 1,676 × 10⁸/160
Sx = 1,048 × 10⁶ mm³ = 1048 × 10³ mm³

Jawaban

Sx = 1048 × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 19,8 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 100·15 = 1500 mm², yf = 300 + 15/2 = 307,5 mm
badan: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1500·307,5 + 4800·150)/6300 = 187,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·15³/12 + 1500·(307,5 − 187,5)² = 2,163 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·300³/12 + 4800·(150 − 187,5)² = 4,275 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,163 × 10⁷ + 4,275 × 10⁷ = 6,438 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 315 − 187,5 = 127,5 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·127,5/6,438 × 10⁷ = 19,8 MPa

Jawaban

σatas = 19,8 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 125,3 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((150 − −70)/2)² + −60²) = 125,3 MPa

Jawaban

τmax = 125,3 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 25,59 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 10 + −30·0,766 + −60·−0,6428 = 25,59 MPa

Jawaban

σθ = 25,59 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δB = 32,16 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 11000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δP = Pa³/(3EI) = 5,848 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,008772 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 32,16 mm

Jawaban

δB = 32,16 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 14,06 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Jawaban

RB = 14,06 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 9,646 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Jawaban

Pcr = 9,646 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 82,14 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 82,14 mm

Jawaban

d = 82,14 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 102,3, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials