Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 1500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 8 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 20 kN di 8 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 150 × 24 mm, badan setinggi 260 mm dan setebal 8 mm, dan sayap bawah 200 × 24 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 150 × 24 mmbadan: 8 × 260 mmsayap bawah: 200 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 100 MPa dan σᵧ = 90 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 150 MPa?

σ_x = 100 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 150 MPa

τ_xy = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 35° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δ_max balok.

P = 21 kNb = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 5 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,05597 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1,072 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 100000·600/1,072 × 10⁹ = 0,05597 mm

Jawaban

δ = 0,05597 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 10,5 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·719948/1,047 × 10⁶ = 20625 N

Tegangan

σ₂ = 20625/1963 = 10,5 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 10,5 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 22,45 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·15708) = 0,3918 rad

φ = 0,3918·180/π = 22,45°

Jawaban

φ = 22,45°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 27,86 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Jawaban

d = 27,86 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 4,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 6·1 − 3·1·0,5 = 4,5 kN·m

Jawaban

M_x = 4,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 96 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·8 + 8·10·5

R_B = 560/10 = 56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 56 = 44 kN

Potong di x = 8 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 44·8 − 8·8·4 = 96 kN·m

Jawaban

M_x = 96 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 7,269 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

badan: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·115 + 1600·50)/8200 = 102,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·30³/12 + 6600·(115 − 102,3)² = 1,557 × 10⁶ mm⁴

badan: 16·100³/12 + 1600·(50 − 102,3)² = 5,713 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,557 × 10⁶ + 5,713 × 10⁶ = 7,269 × 10⁶ mm⁴ = 7,269 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 7,269 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 178,7 × 10⁶ mm⁴

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 3600 mm², y = 296 mm

badan: A = 2080 mm², y = 154 mm

sayap bawah: A = 4800 mm², y = 12 mm

Titik berat

ȳ = (3600·296 + 2080·154 + 4800·12)/10480 = 137,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 150·24³/12 + 3600·158,3² = 9,034 × 10⁷ mm⁴

badan: 8·260³/12 + 2080·16,26² = 1,227 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 200·24³/12 + 4800·125,7² = 7,612 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,034 × 10⁷ + 1,227 × 10⁷ + 7,612 × 10⁷

I_x = 1,787 × 10⁸ mm⁴ = 178,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 178,7 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 54,77 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (100 + 90)/2 = 95 MPa

R = σ₁ − C = 150 − 95 = 55 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 5²) = 54,77 MPa

Jawaban

τ_xy = 54,77 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 21,8 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−5·0,9397 + 50·0,342 = 21,8 MPa

Jawaban

τ_θ = 21,8 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 5,217 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 5,217 mm

Jawaban

δ = 5,217 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 4,078 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Defleksi maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 4,078 mm

Jawaban

δ_max = 4,078 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 29,37 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1750² = 29374 N = 29,37 kN

Jawaban

P_cr = 29,37 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 25,35 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 25,35 mm

Jawaban

d = 25,35 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 315,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials