Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 25 mmKuningan0,5 mP = 70 kN

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 70 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
30 kN12400 mm400 mmØ40Ø40σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 400 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 400 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,6 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 400 N·mdi/do = 0,6τallow = 40 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 30 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 30 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
15 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 4 m55 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 5 kN/mABC6 m1 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak xc dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 7 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
xc = m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2802526016xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1902801010xM = 20 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 190 mm dan setebal 10 mm, tinggi total 280 mm, dan badan setebal 10 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 20 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σmax pada penampang.

B = 190 mmH = 280 mmtf = 10 mmtw = 10 mmM = 20 kN·m
σmax = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = 80τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 100 MPaσy = 80 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −40σy​ = −50τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −40 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 14 kNABδ1 m1 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1 m dari A. Cari lendutan δB di ujung bebas B.

P = 14 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m40 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,713 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/100000 = 0,001426 = 1426 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001426·500 mm = 0,713 mm

Jawaban

δ = 0,713 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 8,952 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 30000·376991/1,005 × 10⁶ = 11250 N

Tegangan

σ2 = 11250/1257 = 8,952 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 8,952 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: do = 38,82 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0,8704)) = 38,82 mm
di = 0,6·38,82 = 23,29 mm

Jawaban

do = 38,82 mm

Poros pejal memerlukan d = 37,07 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 21,64 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21,64 mm

Jawaban

d = 21,64 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 41,67 kN, R2 = 28,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 41,67, MC = 83,33 kN·m, MD = 70, ME = 56,67, MF = 28,33, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 83,33 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: xc = 5,833 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·7·3,5
RB = 122,5/6 = 20,42 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 20,42 = 14,58 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = RA·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·14,58/5 = 5,833 m

Jawaban

xc = 5,833 m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 76,78 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 260 + 25/2 = 272,5 mm
badan: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·272,5 + 4160·130)/11160 = 219,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·25³/12 + 7000·(272,5 − 219,4)² = 2,012 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·260³/12 + 4160·(130 − 219,4)² = 5,667 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,012 × 10⁷ + 5,667 × 10⁷ = 7,678 × 10⁷ mm⁴ = 76,78 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 76,78 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σmax = 33,36 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 280 − 2·10 = 260 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·280³ − 180·260³)/12
Ix = 8,393 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

y = 140 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·140/8,393 × 10⁷ = 33,36 MPa

Jawaban

σmax = 33,36 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −37,98 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−40, 100 − 80) = −75,96°

Sudut pada elemen

θp = −37,98°

Jawaban

θp = −37,98°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = 0,2854 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −5·0,9848 + 30·0,1736 = 0,2854 MPa

Jawaban

τθ = 0,2854 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δB = 18,61 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 14000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δP = Pa³/(3EI) = 7,443 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01116 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 18,61 mm

Jawaban

δB = 18,61 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·6000⁴/(384·200000·16,67) = 5,063 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 539 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1250² = 539012 N = 539 kN

Jawaban

Pcr = 539 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 44,76 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/20 = 210

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Jawaban

σcr = 44,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials