Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 25 mmBaja2 mP = 120 kN

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 120 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmKuningan0,5 mØ 12 mmAluminium2 mP = 75 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 75 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 200 N·mL = 0,5 m

Poros aluminium pejal sepanjang 0,5 m menahan torsi 200 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 200 N·mL = 0,5 mG = 26 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Torsi porosSulit
d = ?15 kW, 1450 rpm

Poros baja pejal meneruskan 15 kW pada 1450 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,25° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
8 kN/m30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 6 m8 kN/m, 4–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 35 kNABpotongan2 m3 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 35 kN di 2 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
240140t = 8xdimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 240 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 140 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 240 mmh = 140 mmt = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
150 mm200 mm140 mm30 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 200 mmpotongan: 30 × 50 mmpusat lubang: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 30σy​ = −80τxy​ = −10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 30 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
35°D = 1200 mm, t = 15 mm, p = 0,5 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1200 mm dan tebal dinding 15 mm berisi gas bertekanan gauge 0,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 35° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1200 mmt = 15 mmp = 0,5 MPaα = 35°
σn = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mδL = 2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mP = 15 kNδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 15 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m50 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,445 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 120·1000/490,9 = 244,5 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 244,5/200000 = 0,001222 = 1222 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001222·2000 mm = 2,445 mm

Jawaban

δ = 2,445 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 19,34 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 77,95 MPa
σ2 = 663,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 77,95·500/100000 = 0,3898 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 663,1·2000/70000 = 18,95 mm
δ = δ1 + δ2 = 19,34 mm

Jawaban

δ = 19,34 mm
3.Torsi poros

Jawaban: d = 46,03 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·500/(26000·0,008727) = 440737 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 46,03 mm

Jawaban

d = 46,03 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 41,2 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm
dτ = ∛(16·98786/(π·40)) = 23,26 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·98786/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 41,2 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(23,26, 41,2) = 41,2 mm

Jawaban

d = 41,2 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 31 kN, R2 = 31 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 62, MC = 124, MD = 170 kN·m, ME = 124, MF = 62, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 170 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 48 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·2 + 2·5·2,5
RB = 95/5 = 19 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 19 = 26 kN
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​ = 26RB​ = 19potongan2 m3 m

Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 26·2 − 2·2·1 = 48 kN·m

Jawaban

Mx = 48 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 8,005 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 240·8 = 1920 mm², y1 = 4 mm
dua kaki: A2 = 2·8·132 = 2112 mm², y2 = 8 + 132/2 = 74 mm

Titik berat

ȳ = (1920·4 + 2112·74)/4032 = 40,67 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 240·8³/12 + 1920·(4 − 40,67)² = 2,592 × 10⁶ mm⁴
dua kaki: 2·8·132³/12 + 2112·(74 − 40,67)² = 5,413 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,592 × 10⁶ + 5,413 × 10⁶
Ix = 8,005 × 10⁶ mm⁴ = 8,005 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 8,005 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 97,16 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·100 − 1500·140)/(30000 − 1500) = 97,89 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·200³/12 + 30000·2,105² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

30·50³/12 + 1500·42,11² = 2,972 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 97,16 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 97,16 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 55,9 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((30 − −80)/2)² + −10²) = 55,9 MPa

Jawaban

τmax = 55,9 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 16,71 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 0,5·600/15 = 20 MPa
σa = pr/(2t) = 10 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 10·sin²35° + 20·cos²35° = 16,71 MPa

Jawaban

σn = 16,71 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 18,63 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 18,63 mm

Jawaban

δ = 18,63 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 16,75 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 15000·2500³/(48·5,95 × 10¹¹) = 8,206 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 8,548 mm

Jumlahkan

δmax = 8,206 + 8,548 = 16,75 mm

Jawaban

δmax = 16,75 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 100,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3500² = 100710 N = 100,7 kN

Jawaban

Pcr = 100,7 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 126,3 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Jawaban

σcr = 126,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials