Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12500 mm300 mmØ30Ø30δ = 0,4 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmBaja0,5 mØ 16 mmKuningan1 mP = 15 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 15 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = 40, di​ = 30 mmT = 500 N·mL = 1 m

Poros aluminium berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 1 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 500 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 500 N·mdo = 40 mmdi = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 40 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 250 N·mABC2,5 m1,5 m

Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 1000 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 250 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmTB = 1000 N·mTC = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 1,5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 40 kNP2​ = 65 kNAB3 m1 m6 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 10 mP1 = 40 kN di 3 mP2 = 65 kN di 4 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 5 kN/mP = 45 kNABpotongan4,5 m0,5 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 45 kN di 4,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
3002024016xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120 mm300 mm210 mm30 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 210 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 30 × 50 mmpusat lubang: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −70σy​ = 60τxy​ = 40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = −70 MPaσy = 60 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 40σy​ = −70τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 300 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σx = 40 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPaσY = 300 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mδL = 2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 12 kN/mAB6 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 6 mw = 12 kN/m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 20 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 56,55 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/7,074 × 10⁻⁶ = 56549 N = 56,55 kN

Jawaban

P = 56,55 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,8224 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 30,56 MPa
σ2 = 74,6 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 30,56·500/200000 = 0,07639 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 74,6·1000/100000 = 0,746 mm
δ = δ1 + δ2 = 0,8224 mm

Jawaban

δ = 0,8224 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 6,413 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Sudut puntir

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·1000/(26000·171806) = 0,1119 rad
φ = 0,1119·180/π = 6,413°

Jawaban

φ = 6,413°
4.Torsi poros

Jawaban: φC = 8,768 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 1000 = −750 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = −750000·2500/(39000·251327) = −0,1913 rad
φBC = 250000·1500/(39000·251327) = 0,03826 rad

Puntiran ujung C

φC = −0,1913 + 0,03826 = −0,153 rad → |φC| = 8,768°

Jawaban

φC = 8,768°
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 228 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·10 = 40·3 + 65·4
RB = 380/10 = 38 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 38 = 67 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·3 = 67·3 = 201 kN·m
di bawah P2: M = RB·6 = 38·6 = 228 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 228 kN·m (di bawah P2)

Jawaban

Mmax = 228 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 46,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·4,5 + 5·6·3
RB = 292,5/6 = 48,75 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 48,75 = 26,25 kN
w = 5 kN/mP = 45 kNABRA​ = 26,25RB​ = 48,75potongan4,5 m0,5 m1 m

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 26,25·5 − 45·(5 − 4,5) − 5·5·2,5 = 46,25 kN·m

Jawaban

Mx = 46,25 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 58,2 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
badan: Aw = 16·240 = 3840 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·250 + 3840·120)/9840 = 199,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·20³/12 + 6000·(250 − 199,3)² = 1,564 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·240³/12 + 3840·(120 − 199,3)² = 4,256 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,564 × 10⁷ + 4,256 × 10⁷ = 5,82 × 10⁷ mm⁴ = 58,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 58,2 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 264,1 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 1500·210)/(36000 − 1500) = 147,4 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·2,609² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

30·50³/12 + 1500·62,61² = 6,192 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 264,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 264,1 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = 74,2 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·40, −70 − 60) = 148,4°

Sudut pada elemen

θp = 74,2°

Jawaban

θp = 74,2°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,394

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = −15 MPa, R = 62,65 MPa
σ1 = 47,65 MPa, σ2 = −77,65 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 125,3 MPa
n = 300/125,3 = 2,394

Jawaban

n = 2,394

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 30,3 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 30,3 mm

Jawaban

δ = 30,3 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 27 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN

Jawaban

RB = 27 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 6,867 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Jawaban

Pcr = 6,867 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 7,896 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/5 = 500

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Jawaban

σcr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials