Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 20 mmBaja2,5 mP = 120 kN

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
20 kN12500 mm400 mmØ40Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 400 N·md = 20 mmL = 0,8 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = ?50 kW, 1000 rpm

Poros baja pejal meneruskan 50 kW pada 1000 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,25° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 50 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0,25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 5 kN/mABpotongan0,5 m4,5 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 0,5 m
Vx = kN
6.Gaya geser & momen lenturSulit
45 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 0 m15 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2002012016xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
150 mm240 mm72 mm50 × 30xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 72 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 240 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 70σy​ = 30τxy​ = −50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 70 MPaσy = 30 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 20σy​ = −50τxy​ = 10MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = 20 MPaσy = −50 MPaτxy = 10 MPa
σvM = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mABθ4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mδL = 1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m20 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1910 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 120·1000/314,2 = 382 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 382/200000 = 0,00191 = 1910 µε

Jawaban

ε = 1910 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 4,134 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 20000·706858/1,21 × 10⁶ = 11688 N

Tegangan

σ2 = 11688/2827 = 4,134 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 4,134 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 14,59 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·15708) = 0,2546 rad
φ = 0,2546·180/π = 14,59°

Jawaban

φ = 14,59°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 61,1 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·477465/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 61,1 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(31,89, 61,1) = 61,1 mm

Jawaban

d = 61,1 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = 10 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2,5
RB = 62,5/5 = 12,5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12,5 = 12,5 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 12,5RB​ = 12,5potongan0,5 m4,5 m

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 12,5 − 5·0,5 = 10 kN

Jawaban

Vx = 10 kN
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 50 kN, R2 = 10 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −45 kN·m, MC = −40, MD = −35, ME = −30, MF = −15, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = −45 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 8,794 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
badan: Aw = 16·120 = 1920 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·130 + 1920·60)/5920 = 107,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·20³/12 + 4000·(130 − 107,3)² = 2,195 × 10⁶ mm⁴
badan: 16·120³/12 + 1920·(60 − 107,3)² = 6,599 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,195 × 10⁶ + 6,599 × 10⁶ = 8,794 × 10⁶ mm⁴ = 8,794 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 8,794 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 169,1 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·120 − 1500·72)/(36000 − 1500) = 122,1 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·240³/12 + 36000·−2,087² = 173 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·30³/12 + 1500·−50,09² = 3,876 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 169,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 169,1 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 53,85 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((70 − 30)/2)² + −50²) = 53,85 MPa

Jawaban

τmax = 53,85 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 64,81 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = −15 MPa, R = 36,4 MPa
σ1 = 21,4 MPa, σ2 = −51,4 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(21,4² − 21,4·(−51,4) + (−51,4)²) = 64,81 MPa

Jawaban

σvM = 64,81 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,006683 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 10·4000³/(24·3,99 × 10¹²) = 0,006683 rad

Jawaban

θA = 0,006683 rad

Itu sama dengan 0,3829°.

12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,157 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 21,57 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 8,393 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2800² = 8393 N = 8,393 kN

Jawaban

Pcr = 8,393 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 77,11 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6,25 = 160

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Jawaban

σcr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials