Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 25 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 1,2 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 1,2 m. Torsi 400 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 400 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 40 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 20 kW pada 1500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari gaya geser V_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1 m

V_x = kN

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 5 mP = 20 kN di 3,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 5 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 130 mm dan setebal 14 mm, tinggi total 200 mm, dan badan setebal 8 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 130 mmH = 200 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 40 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1 m dari A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 23 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 135 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,211 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5890 = 7,108 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 300000·500/7,108 × 10⁸ = 0,211 mm

Jawaban

δ = 0,211 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,784 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 50,93·1500/100000 = 0,7639 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 79,58·1500/117000 = 1,02 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,784 mm

Jawaban

δ = 1,784 mm

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 31,83 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

Jawaban

τ_max = 31,83 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 8,787 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·25/362265 = 8,787 MPa

Jawaban

τ_max = 8,787 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: V_x = 6 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri potongan)

V_x = 8 − 2·1 = 6 kN

Jawaban

V_x = 6 kN

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 34,13 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3,5 + 5·5·2,5

R_B = 132,5/5 = 26,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 26,5 = 18,5 kN

Di mana V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 1 kN

V(3,5⁺) = 1 − 20 = −19 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 18,5·3,5 − 5·3,5²/2 = 34,13 kN·m

Jawaban

M_max = 34,13 kN·m

Terjadi di x = 3,5 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 34,93 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 200 − 2·14 = 172 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·200³ − 122·172³)/12

I_x = 3,493 × 10⁷ mm⁴ = 34,93 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 34,93 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 141,3 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

badan: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·267,5 + 4160·130)/6260 = 176,1 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·15³/12 + 2100·(267,5 − 176,1)² = 1,757 × 10⁷ mm⁴

badan: 16·260³/12 + 4160·(130 − 176,1)² = 3,229 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,757 × 10⁷ + 3,229 × 10⁷ = 4,986 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 176,1 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·176,1/4,986 × 10⁷ = 141,3 MPa

Jawaban

σ_bawah = 141,3 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −22,5 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 20 − −80) = −45°

Sudut pada elemen

θ_p = −22,5°

Jawaban

θ_p = −22,5°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 153,5 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 105 + 45·0,5 + 30·0,866 = 153,5 MPa

Jawaban

σ_θ = 153,5 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 4,762 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 23000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa³/(3EI) = 23000·1000³/(3·1,61 × 10¹²) = 4,762 mm

Jawaban

δ_P = 4,762 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2500⁴/(384·70000·6,944) = 6,278 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 16,82 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16,82 kN

Jawaban

P_cr = 16,82 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 118,8 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 118,8 mm

Jawaban

d = 118,8 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 168,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials