Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
50 kNØ30120 GPaØ100/50600 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmBaja1,5 mØ 16 mmBaja1,5 mP = 60 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 60 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 1000 N·mL = 1 m

Poros baja pejal sepanjang 1 m menahan torsi 1000 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 1000 N·mL = 1 mG = 80 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Torsi porosSulit
d = 50 mmTB​ = 200 N·mTC​ = 1500 N·mABC1,2 m0,5 m

Poros aluminium pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 200 N·m bekerja di B, 1,2 m dari A, dan torsi 1500 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

d = 50 mmTB = 200 N·mTC = 1500 N·mAB = 1,2 mBC = 0,5 mG = 26 GPa
φC = °
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 10 kN/mABpotongan3 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mABC6 m2,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum Mmax di antara tumpuan.

L = 8,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 8,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1602010020xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 160 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
100230103601016xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 100 × 10 mm, badan setinggi 360 mm dan setebal 16 mm, dan sayap bawah 230 × 10 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 100 × 10 mmbadan: 16 × 360 mmsayap bawah: 230 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 30σy​ = 0τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 30 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 100σy​ = 20τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 355 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σx = 100 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mP = 27 kNABδ1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 27 kNw = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 m40 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 65 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 65 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,03537 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·600/8,482 × 10⁸ = 0,03537 mm

Jawaban

δ = 0,03537 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 298,4 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 122,2 MPa
σ2 = 298,4 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 298,4 MPa

Jawaban

σmax = 298,4 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: d = 61,8 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(80000·0,008727) = 1,432 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 61,8 mm

Jawaban

d = 61,8 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: φC = 10,02 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC + TB = 1500 + 200 = 1700 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 1,7 × 10⁶·1200/(26000·613592) = 0,1279 rad
φBC = 1,5 × 10⁶·500/(26000·613592) = 0,04701 rad

Puntiran ujung C

φC = 0,1279 + 0,04701 = 0,1749 rad → |φC| = 10,02°

Jawaban

φC = 10,02°
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 15 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·4·2
RB = 80/4 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20potongan3 m1 m

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 20·3 − 10·3·1,5 = 15 kN·m

Jawaban

Mx = 15 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 18,44 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·8,5 = 51 kN, bekerja di x̄ = 4,25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·8,5·4,25
RB = 216,8/6 = 36,13 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 36,13 = 14,88 kN

Gaya geser nol

RA − w·x0 = 0 → x0 = 14,88/6 = 2,479 m

Momen positif maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 14,88²/(2·6) = 18,44 kN·m

Jawaban

Mmax = 18,44 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 6,204 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
badan: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3200·110 + 2000·50)/5200 = 86,92 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·20³/12 + 3200·(110 − 86,92)² = 1,811 × 10⁶ mm⁴
badan: 20·100³/12 + 2000·(50 − 86,92)² = 4,393 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,811 × 10⁶ + 4,393 × 10⁶ = 6,204 × 10⁶ mm⁴ = 6,204 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 6,204 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 168,8 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 1000 mm², y = 375 mm
badan: A = 5760 mm², y = 190 mm
sayap bawah: A = 2300 mm², y = 5 mm

Titik berat

ȳ = (1000·375 + 5760·190 + 2300·5)/9060 = 163,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 100·10³/12 + 1000·211,5² = 4,476 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·360³/12 + 5760·26,55² = 6,627 × 10⁷ mm⁴
sayap bawah: 230·10³/12 + 2300·158,5² = 5,777 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,476 × 10⁷ + 6,627 × 10⁷ + 5,777 × 10⁷
Ix = 1,688 × 10⁸ mm⁴ = 168,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 168,8 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 33,54 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((30 − 0)/2)² + −30²) = 33,54 MPa

Jawaban

τmax = 33,54 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 3,227

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 60 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 110 MPa, σ2 = 10 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 110 MPa
n = 355/110 = 3,227

Jawaban

n = 3,227

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 20,85 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 27000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 27000·1500³/(3·1,76 × 10¹²) = 17,26 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 3,596 mm

Jumlahkan

δ = 17,26 + 3,596 = 20,85 mm

Jawaban

δ = 20,85 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 26,63 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2500⁴/(384·11000·6,944) = 2,663 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 26,63 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 26,63 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 117 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/3000² = 116973 N = 117 kN

Jawaban

Pcr = 117 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 73,98 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 73,98 mm

Jawaban

d = 73,98 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 135,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials