Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
150 kNØ30120 GPaØ100/70400 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmAluminium0,5 mØ 20 mmTembaga2 mP = 25 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 25 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = 40, di​ = 24 mmT = 250 N·mL = 2 m

Poros baja berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 24 mm, panjang 2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 250 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 250 N·mdo = 40 mmdi = 24 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = ?15 kW, 750 rpm

Poros kuningan pejal meneruskan 15 kW pada 750 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,25° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 15 kWN = 750 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
4 kN/m10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

10 kN @ 6 m4 kN/m, 2–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 20 kNABpotongan1 m7 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 20 kN di 1 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
28090t = 14ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 280 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 90 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 14 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 280 mmh = 90 mmt = 14 mm
ȳ = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm300 mm105 mm40 × 40xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmpotongan: 40 × 40 mmpusat lubang: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 80σy​ = 50τxy​ = 30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 50° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 80 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 120σy​ = −70τxy​ = −20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 35° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = 120 MPaσy = −70 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 6 kNABδ3 m3 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 3 m dari A. Cari lendutan δB di ujung bebas B.

P = 6 kNa = 3 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m25 × 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 40 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 40 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,09646 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·400/6,22 × 10⁸ = 0,09646 mm

Jawaban

δ = 0,09646 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,546 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 25,98 MPa
σ2 = 79,58 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 25,98·500/70000 = 0,1856 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 79,58·2000/117000 = 1,36 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,546 mm

Jawaban

δ = 1,546 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,637 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Sudut puntir

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·2000/(80000·218755) = 0,02857 rad
φ = 0,02857·180/π = 1,637°

Jawaban

φ = 1,637°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 58,15 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·190986/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 58,15 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(28,97, 58,15) = 58,15 mm

Jawaban

d = 58,15 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 21,67 kN, R2 = 28,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 43,33, MC = 78,67, MD = 98 kN·m, ME = 81,33, MF = 48,67, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 98 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 52,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·1 + 10·8·4
RB = 340/8 = 42,5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 42,5 = 57,5 kN
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = 57,5RB​ = 42,5potongan1 m7 m

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 57,5·1 − 10·1·0,5 = 52,5 kN·m

Jawaban

Mx = 52,5 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 22,83 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 280·14 = 3920 mm², y1 = 7 mm
dua kaki: A2 = 2·14·76 = 2128 mm², y2 = 14 + 76/2 = 52 mm

Titik berat

ȳ = (3920·7 + 2128·52)/6048 = 22,83 mm

Jawaban

ȳ = 22,83 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 446,5 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 1600·105)/(60000 − 1600) = 151,2 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,233² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·40³/12 + 1600·−46,23² = 3,633 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 446,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 446,5 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 38,06 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 65 − 15·(−0,1736) − 30·0,9848 = 38,06 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 91,94 MPa, σx′ + σy′ = 130 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 38,06 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = −96,11 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −95·0,9397 + −20·0,342 = −96,11 MPa

Jawaban

τθ = −96,11 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δB = 12,05 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 6000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δP = Pa³/(3EI) = 4,821 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,002411 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12,05 mm

Jawaban

δB = 12,05 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 15,69 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2500⁴/(384·70000·6,944) = 1,569 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 15,69 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 15,69 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 8,996 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8,996 kN

Jawaban

Pcr = 8,996 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 42,63 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 42,63 mm

Jawaban

d = 42,63 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 187,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials