Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12400 mm300 mmØ25Ø60δ = 0,25 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø2570 GPaØ120/50800 mm

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 250 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
do​ = 75, di​ = 45 mmT = 2000 N·mL = 0,5 m

Poros kuningan berongga (diameter luar 75 mm, diameter dalam 45 mm, panjang 0,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 2000 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 2000 N·mdo = 75 mmdi = 45 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 40 mmT0​ = 100 N·mACBa = 0,5 mb = 3 m

Poros baja pejal berdiameter 40 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 100 N·m diberikan di C, 0,5 m dari A dan 3 m dari B. Cari torsi reaksi TA di dinding A.

d = 40 mmT0 = 100 N·ma = 0,5 mb = 3 m
TA = N·m
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNAB1,5 m1 m2,5 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 5 mP1 = 50 kN di 1,5 mP2 = 50 kN di 2,5 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 8 kN/mP = 75 kNAB4 m4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP = 75 kN di 4 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 8 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2001024018xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm300 mm180 mm40 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 180 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmpotongan: 40 × 50 mmpusat lubang: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 60σy​ = −60τxy​ = 40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 60 MPaσy = −60 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −50σy​ = 30τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = −50 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mδL = 4 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 8 kNABδ6 m2 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 2 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 8 kNb = 2 mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m25 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 3 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 44,72 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·2827) = 1,516 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/5,59 × 10⁻⁶ = 44722 N = 44,72 kN

Jawaban

P = 44,72 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 859,9 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·9346 = 7,524 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00125, 0,001143) = 0,001143 (aluminium)

Beban terbesar

Pmax = 0,001143·7,524 × 10⁸ = 859899 N = 859,9 kN

Jawaban

Pmax = 859,9 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,5434 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Sudut puntir

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(39000·2,704 × 10⁶) = 0,009484 rad
φ = 0,009484·180/π = 0,5434°

Jawaban

φ = 0,5434°
4.Torsi poros

Jawaban: TA = 85,71 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·3/3,5 = 85,71 N·m
TB = 100·0,5/3,5 = 14,29 N·m

Jawaban

TA = 85,71 N·m
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 100 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·1,5 + 50·2,5
RB = 200/5 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 40 = 60 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·1,5 = 60·1,5 = 90 kN·m
di bawah P2: M = RB·2,5 = 40·2,5 = 100 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 100 kN·m (di bawah P2)

Jawaban

Mmax = 100 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 214 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 75·4 + 8·8·4
RB = 556/8 = 69,5 kN
ΣFy = 0: RA = 139 − 69,5 = 69,5 kN

Di mana V = 0?

V(4⁻) = RA − w·4 = 37,5 kN
V(4⁺) = 37,5 − 75 = −37,5 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 69,5·4 − 8·4²/2 = 214 kN·m

Jawaban

Mmax = 214 kN·m

Terjadi di x = 4 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 42,11 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm
badan: Aw = 18·240 = 4320 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·245 + 4320·120)/6320 = 159,6 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·10³/12 + 2000·(245 − 159,6)² = 1,462 × 10⁷ mm⁴
badan: 18·240³/12 + 4320·(120 − 159,6)² = 2,75 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,462 × 10⁷ + 2,75 × 10⁷ = 4,211 × 10⁷ mm⁴ = 42,11 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 42,11 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 447,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 2000·180)/(60000 − 2000) = 149 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·1,034² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·50³/12 + 2000·31,03² = 2,343 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 447,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 447,7 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 72,11 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((60 − −60)/2)² + 40²) = 72,11 MPa

Jawaban

τmax = 72,11 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −55,98 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = −10 + −40·0,5 + 30·−0,866 = −55,98 MPa

Jawaban

σθ = −55,98 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 42,86 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 42,86 mm

Jawaban

δ = 42,86 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 2,485 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 8000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2000²)/3) = 4472 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2,485 mm

Jawaban

δmax = 2,485 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 10,49 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/3500² = 10491 N = 10,49 kN

Jawaban

Pcr = 10,49 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 35,25 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/15 = 140

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Jawaban

σcr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials