Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmKuningan1,5 mP = 60 kN

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 60 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø40100 GPaØ100/70500 mm

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 35 kNP2​ = 20 kNABC2,5 m3,5 m2 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur MB di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP1 = 35 kN di 2,5 mP2 = 20 kN di 8 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
MB = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 20 kNABpotongan8,5 m0,5 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 8,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 20 kN di 9 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 8,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2801526010xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
100 mm200 mm60 mm60 × 30xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 60 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −80σy​ = −30τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σz = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τabs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σx = −80 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
50°D = 1200 mm, t = 5 mm, p = 1,2 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1200 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 1,2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 50° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 50°
σn = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 16 kNABδ5 m1 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1 m dari tumpuan B. Cari lendutan δmid di tengah bentang.

P = 16 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,476 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 60·1000/201,1 = 298,4 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 298,4/100000 = 0,002984 = 2984 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002984·1500 mm = 4,476 mm

Jawaban

δ = 4,476 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 325,9 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6,519 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (kuningan)

Beban terbesar

Pmax = 0,0005·6,519 × 10⁸ = 325940 N = 325,9 kN

Jawaban

Pmax = 325,9 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,3502 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·613592) = 0,006112 rad
φ = 0,006112·180/π = 0,3502°

Jawaban

φ = 0,3502°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 28,97 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Jawaban

d = 28,97 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MB = −40 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·2,5 + 20·8
RB = 247,5/6 = 41,25 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 41,25 = 13,75 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Hanya P2 yang bekerja pada overstek, dengan lengan momen a. Beban ini melenturkan balok ke atas di atas tumpuan (momen negatif).

MB = −P2·a = −20·2 = −40 kN·m

Jawaban

MB = −40 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 29,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·9 + 2·10·5
RB = 280/10 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 28 = 12 kN
w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​ = 12RB​ = 28potongan8,5 m0,5 m1 m

Potong di x = 8,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 12·8,5 − 2·8,5·4,25 = 29,75 kN·m

Jawaban

Mx = 29,75 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 45,09 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 260 + 15/2 = 267,5 mm
badan: Aw = 10·260 = 2600 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·267,5 + 2600·130)/6800 = 214,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·15³/12 + 4200·(267,5 − 214,9)² = 1,169 × 10⁷ mm⁴
badan: 10·260³/12 + 2600·(130 − 214,9)² = 3,34 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,169 × 10⁷ + 3,34 × 10⁷ = 4,509 × 10⁷ mm⁴ = 45,09 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 45,09 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 63,37 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (20000·100 − 1800·60)/(20000 − 1800) = 104 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·200³/12 + 20000·−3,956² = 66,98 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·30³/12 + 1800·−43,96² = 3,613 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 63,37 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 63,37 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τabs = 47,03 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σmax − σmin)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama sebidang

C = −55 MPa, R = √((−25)² + 30²) = 39,05 MPa
σ1 = −15,95 MPa, σ2 = −94,05 MPa, σz = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(78,1, 15,95, 94,05)/2 = 47,03 MPa

Jawaban

τabs = 47,03 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 101,7 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1,2·600/5 = 144 MPa
σa = pr/(2t) = 72 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 72·sin²50° + 144·cos²50° = 101,7 MPa

Jawaban

σn = 101,7 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 13,84 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 13,84 mm

Jawaban

δmax = 13,84 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmid = 58,26 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan tengah bentang

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 16000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·5,95 × 10¹¹) = 58,26 mm

Jawaban

δmid = 58,26 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 347,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Jawaban

Pcr = 347,3 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 8,812 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/15 = 280

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Jawaban

σcr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials