Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 30 mm dan panjang 3 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 400 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 400 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 3 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1450 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 100 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 2,5 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2,5 mP = 20 kN di 2,5 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 2,5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 30 kN di 3,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 180 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 80 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 180 mmh = 80 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 30 MPa untuk tarik dan 150 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 275 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan δ_mid di tengah bentang.

P = 7 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1025 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7,32 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·300/7,32 × 10⁸ = 0,1025 mm

Jawaban

δ = 0,1025 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 493,5 kN

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·9346 = 1,184 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0004167) = 0,0004167 (tembaga)

Beban terbesar

P_max = 0,0004167·1,184 × 10⁹ = 493492 N = 493,5 kN

Jawaban

P_max = 493,5 kN

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 19,93 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·3000/(80000·79522) = 0,1886 rad

φ_BC = 400000·500/(80000·15708) = 0,1592 rad

Puntiran total

φ_C = 0,1886 + 0,1592 = 0,3478 rad = 19,93°

Jawaban

φ_C = 19,93°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 3,853 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8,545 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·50/8,545 × 10⁶ = 3,853 MPa

Jawaban

τ_max = 3,853 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −22 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −20·1 = −20 kN·m

w: −4·1²/2 = −2 kN·m

M_x = −20 − 2 = −22 kN·m

Jawaban

M_x = −22 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 70 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3,5 + 6·6·3

R_B = 213/6 = 35,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 35,5 = 30,5 kN

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 30,5·3,5 − 6·3,5·1,75 = 70 kN·m

Jawaban

M_x = 70 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 2,917 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 180·18 = 3240 mm², y₁ = 9 mm

dua kaki: A₂ = 2·18·62 = 2232 mm², y₂ = 18 + 62/2 = 49 mm

Titik berat

ȳ = (3240·9 + 2232·49)/5472 = 25,32 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 180·18³/12 + 3240·(9 − 25,32)² = 949984 mm⁴

dua kaki: 2·18·62³/12 + 2232·(49 − 25,32)² = 1,967 × 10⁶ mm⁴

I_x = 949984 + 1,967 × 10⁶

I_x = 2,917 × 10⁶ mm⁴ = 2,917 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 2,917 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 18,58 kN·m

Titik berat

ȳ = (2600·265 + 4680·130)/7280 = 178,2 mm

tepi atas: c = 270 − 178,2 = 91,79 mm

Momen inersia penampang

I = 260·10³/12 + 2600·86,79² + 18·260³/12 + 4680·48,21² = 5,685 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 30·5,685 × 10⁷/91,79 = 18,58 kN·m

tepi bawah: M = 150·5,685 × 10⁷/178,2 = 47,85 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 18,58 kN·m (tepi atas)

Jawaban

M_allow = 18,58 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 81,39 MPa

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((120 − 10)/2)² + −60²) = 81,39 MPa

Jawaban

τ_max = 81,39 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,367

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 0 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 67,08 MPa, σ₂ = −67,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(67,08² − 67,08·(−67,08) + (−67,08)²) = 116,2 MPa

n = 275/116,2 = 2,367

Jawaban

n = 2,367

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 41,74 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 41,74 mm

Jawaban

δ = 41,74 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_mid = 8,594 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan tengah bentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 7000·1500·(3·6000² − 4·1500²)/(48·2,52 × 10¹²) = 8,594 mm

Jawaban

δ_mid = 8,594 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 58,49 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/3000² = 58487 N = 58,49 kN

Jawaban

P_cr = 58,49 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 21,93 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Jawaban

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials