Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 1 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 1000 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 1000 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 75 kW pada 500 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 75 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 10 kN·m di x = 2 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mM₀ = 10 kN·m searah jarum jam, di 2 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 4 mP = 65 kN di 1 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 4 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 130 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 200 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 150 mmpotongan: 30 × 20 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 355 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 2 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 17 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,01565 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5890 = 9,582 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·300/9,582 × 10⁸ = 0,01565 mm

Jawaban

δ = 0,01565 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 16,82 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 80000·589049/1,427 × 10⁶ = 33028 N

Tegangan

σ₂ = 33028/1963 = 16,82 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 16,82 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 4,126 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Sudut puntir

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1000/(26000·534071) = 0,07202 rad

φ = 0,07202·180/π = 4,126°

Jawaban

φ = 4,126°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 57,94 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·40·0,9375)) = 57,94 mm

d_i = 0,5·57,94 = 28,97 mm

Jawaban

d_o = 57,94 mm

Poros pejal memerlukan d = 56,71 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 8 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/10 = 1 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −1 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat R_A dan kopel.

M_x = R_A·a + M₀ = −1·2 + 10 = 8 kN·m

Jawaban

M_x = 8 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 54,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·1 + 4·4·2

R_B = 97/4 = 24,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 81 − 24,25 = 56,75 kN

Di mana V = 0?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 52,75 kN

V(1⁺) = 52,75 − 65 = −12,25 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 56,75·1 − 4·1²/2 = 54,75 kN·m

Jawaban

M_max = 54,75 kN·m

Terjadi di x = 1 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 1963·130)/(40000 − 1963) = 98,45 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·1,549² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·50⁴/64 + 1963·31,55² = 2,261 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 131,2 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 56,09 × 10⁶ mm⁴

Titik berat

ȳ = (30000·75 − 600·90)/(30000 − 600) = 74,69 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·150³/12 + 30000·0,3061² = 56,25 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

30·20³/12 + 600·15,31² = 0,1606 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 56,09 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 56,09 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 35 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = −50 MPa, R = √(0² + (−20)²) = 20 MPa

σ₁ = −30 MPa, σ₂ = −70 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(40, 30, 70)/2 = 35 MPa

Jawaban

τ_abs = 35 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 6,481

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −15 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 15,41 MPa, σ₂ = −45,41 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(15,41² − 15,41·(−45,41) + (−45,41)²) = 54,77 MPa

n = 355/54,77 = 6,481

Jawaban

n = 6,481

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 1,285 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 17000·2000²·1000²/(3·5,88 × 10¹²·3000) = 1,285 mm

Jawaban

δ_P = 1,285 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2500⁴/(384·70000·6,944) = 4,185 × 10⁶ mm⁴

I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 19,62 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/8000² = 19621 N = 19,62 kN

Jawaban

P_cr = 19,62 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 71,06 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7,5 = 166,7

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Jawaban

σ_cr = 71,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials